Re: Differenza tra conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Wed, 29 Sep 2010 11:30:56 -0700 (PDT)

On 23 Set, 23:32, Neo <neosh..._at_gmail.com> wrote:
> On 23 Set, 20:23, cometa_luminosa <alberto.r..._at_virgilio.it> wrote:
>
> > La prima discende dall'invarianza della lagrangiana per traslazioni
> > nel tempo, la seconda dall'invarianza della lagrangiana per
> > traslazioni nello spazio.
>
> Sei sicuro che l'op sa cosa sia una lagrangiana? E comunque non �
> detto che sappia ricavare dall'invarianza una corrente conservata, la
> cosa � evidente nei sistemi di coordinate "furbe" in cui alcune
> coordinate diventano cicliche, ma in generale non � proprio
> banalissimo!
> --
> Ciao Neo

Lasciando da parte il merito della domanda dell'op, che comunque � una
domanda impegnativa che richiede qualche ulteriore specificazione, mi
sembra che tu stia facendo confusione fra la possibilit� offerta da
quelle che chiami coordinate furbe di riconoscere una invarianza della
lagrangiana con l'esistenza dell'invarianza. Mentre mi sembra che
Cometa Luminosa non tenga conto del fatto che l'invarianza per
traslazioni temporali di una lagrangiana implica in generale la
conservazione della funzione di hamilton non necessariamente
dell'energia cinetica, per esempio la conservazione della componente
traslazionale dell'energia cinetica in un sistema meccanico su cui non
agiscono forze esterne � una diretta conseguenza della conservazione
dell'impulso del centro di massa il che permette di dedurre la
conservazione di P^2/2m (in termini hamiltoniani la cosa ha a che fare
con la circostanza che la commutazione dell'hamiltoniana con l'impulso
implica la commutazione dell'hamiltoniana con P^2 per via della regola
di Leibniz).

Tuttavia la risposta di Cometa Luminosa pu� essere messa in ordine,
per esempio se si tiene conto del principio di relativit� ristretta e
della richiesta che le equazioni della fisica siano covarianti
rispetto alle trasformazioni di invarianza per traslazioni spazio
temporali e si assume che la fisica fondamentale possa essere
ricondotta alla descrizione lagrangiana di campi in interazione.
Allora in regime di invarianza della lagrangiana per traslazioni
spazio temporali (a cui una lagrangiana conforme al principio di
relativit� deve ottemperare) si ottengono una densit� tensoriale nota
come tensore energia impulso, il cui integrale spaziale � conservato
nell'ipotesi di evanescenza dei campi all'infinito, e l'integrale
spaziale di questo che si chiama quadri-impulso. La componente
temporale del quadri-impulso � l'energia totale e per piccole velocit�
si riduce alla somma della energia di massa invariante del sistema e
della tradizionale energia cinetica, ma questo fino al secondo ordine
di sviluppo delle velocit�, ragione per la quale si trova opportuno
generalizzare la definizione di energia cinetica in modo che valga
anche in relativit� ristretta. Il che si fa definendo l'energia
cinetica come la differenza della componente temporale del
quadrimpulso conservato e della energia di massa invariante che per
velocit� piccole rispetto alla velocit� della luce si confonde con
l'energia cinetica newtoniana. La componente spaziale � invece
l'impulso relativistico, che per velocit� piccole rispetto alla
velocit� della luce si identifica con l'impulso newtoniano.

Tornando invece alla questione che sollevavi l'obiezione formale � che
il teorema di Noether non richiede la ciclicit� delle variabili per
essere applicato e determinare l'espressione dell'impulso conservato
in qualsiasi sistema di coordinate. Ad esempio se non erro r'
cos(theta) - r theta ' sen(theta) � la componente x della velocit� in
coordinate polari ed � conservata.
Received on Wed Sep 29 2010 - 20:30:56 CEST