miele wrote:
>
> "Valter Moretti" ha scritto:
>
> [...]
>
> va bene, aspettero' che tu abbia tempo di spiegare
Ciao, ho qualche minuto (ho finito ora di fare esami).
Vorrei dire qualcosa sul cono di luce e sulla causalita` in
relativita` speciale (RS).
Allora in RS c`e` lo spaziotempo che e` un insieme di eventi
= localizzazioni spaziali e temporali infinitesime. (Dal punto
di vista topologica lo spazio della relativita` speciale e`
R^4.) Le storie dei punti materiali sono rappresentate da
curve nello spaziotempo, dette linee di universo,
etichettabili con il tempo proprio
(cioe` il tempo segnato da un orologio attaccato al punto materiale).
Si assume inoltre che nello spaziotempo ci sia una nozione
di distanza che ora preciso (tale nozione deriva dalla rielaborazione
di Minkowski del postulato iniziale di Einstein sull'invarinaza
della velocita` della luce e sull'equivalenza meccanica
ed elettrodinamica dei riferimenti inerziali, ma non mi dilungo).
Ogni riferimento inerziale determina un sistema di coordinate
(che e` individuato a meno di rototlaslazioni spaziali e traslazioni
temporali) dette coordinate di Minkowski: t, x,y,z.
La distanza tra due eventi P e Q e` data da (c e` la velocita`
della luce)
S^2= -c^2(tP-tQ)^2 + (xP-xQ)^2 +(yP-yQ)^2 +(zP-zQ)^2.
La particolarita` e` che tale distanza non dipende dalle coordinate
Minkowskiane dette e quindi dal riferimento inerziale considerato,
malgrado le coordinate spaziotemporali degli eventi dipendano
dal riderimento. Imporre cio` e` equivalente a dire che le leggi
di trasformazione tra sistemi di coordinate Minkowskiane sono date
dalle trasformazioni del gruppo di Poincare' (= trasformazioni
di Lorentz speciali + rototraslazioni spaziali e traslazioni
temporali). Si puo` mostrare che il requisito di velocita` minore,
maggiire o uguale a c per una linea di universo rispetto ad un
osservatore inerziale e` equivalente a richiedere che il vettore
tangente alla linea, ovvero ogni porzione infinitesima
di arco, abbia lunghezza rispett. negativa, positiva o nulla
rispetto alla nozione di distanza data sopra.
La dimostrazione e` immediata: se P e Q sono ora eventi
"infinitamente vicini sulla linea di universo
-c^2(tP-tQ)^2 + (xP-xQ)^2 +(yP-yQ)^2 +(zP-zQ)^2 < = > 0
equivale a
(xP-xQ)^2 +(yP-yQ)^2 +(zP-zQ)^2/ (tP-tQ)^2 < = > c^2
ossia, estraendo le radici,
"spazio percorso"/"intervallo di tempo impiegato" < = > c
da cui la tesi.
Dato che la nozione di distanza non dipende dal riferimento
inerziale, il fatto che le velocita` della luce sia o non sia
superata NON dipende dal riferimento.
Se prendiamo un evento P, l'insieme degli eventi Q
(vicini e lontani) tali che
-c^2(tP-tQ)^2 + (xP-xQ)^2 +(yP-yQ)^2 +(zP-zQ)^2 =0
determina un cono (a due falde) con vertice in P.
Tale cono rappresenta i vettori tangenti
nell'origine P alle linee di universo di punti che si allontanano
da P alla velocita` della luce. Tale cono e` assoluto: non
dipende dal riferimento. Il cono senza l'origine P, divide lo
spaziotempo in 3 regioni il cui bordo e` dato dalla superficie
conica stessa: la falda superiore f, la falda inferiore p e
la regione di spaziotempo "fuori dal cono" e.
Il punto importante e` il seguente se un evento Q si trova
nella falda f ed ha coordinata temporale positiva rispetto a un
sistema di coordinate di Minkowski, allora accadra` cio`
rispetto a tutti gli sistemi di coordinate di Minkowswki
( tecnicamente cio` vale solo per quei sistemi la cui
trasformazione di coordinate puo` essere trasformata con
continuita` nella trasformazione identica, stiamo scartando
esplicitamente la trasformazione di "inversione del tempo".)
Stessa cosa se Q si trova nella falda inferiore.
In definitiva, l'ordinamento temporale tra P. centro del
cono di luce ed un punto Q che si trova in una delle due falde
e` *assoluto*. Le cose cambiano se Q si trova fuori dal cono,
cioe` in e. Si puo` allora provare che comunque sia situato Q
rispetto a P, ci sono tre sistemi di coordinate Minkowskiane
in cui, (senza l'uso dell'inversione del tempo)
rispettivamente la coordinata temporale di Q e` maggiore
di 0, uguale a 0, minore di 0. Quinidi se P e Q sono tali che
Q e` fuori dal cono di luce di P, l'ordinamento temporale
tra P e Q dipende dal riferimento: non e` assoluto.
Nel momento in cui si parla di causalita` e si dice che qualcosa
che accade in P e` causa di qualcosa che accade in Q, si assume
che P preceda temporalemente Q.
Dato che la causalita` in fisica ha un significato
assoluto: non dipende da come si rappresenta il mondo, si puo`
parlare di legami causali *solo* tra eventi tali che uno (causa)
si trovi nella falda superiore del cono di luce dall'altro
(effetto) (al limite uno si puo` trovare proprio sulla
superficie conica futura del cono di luce dell'altro).
I fantomatici tachioni uscenti dall'evento P avrebbero linee di
universo che partendo da P *escono* dal cono di luce di P,
dato che la loro velocita` e` maggiore di c.
Per esempio con una linea di universo di un tachione potrei
connettere P ad un evento Q nella regione esterna e del cono di
luce. Supponiamo che per un certo riferimento
inerziale l'evento Q abbia coordinata temporale maggiore di
quella di P: cioe` Q sia "nel futuro" di P per qul riferimento.
E` chiaro che non avrebbe senso pensare
che P causi qualcosa in Q per mezzo del tachione (per mezzo
di qualche tipo di "informazione" che porta il tachione).
Questo perche` ci sarebbe comunque un riferimento inerziale in
cui si vede Q nel PASSATO di P e l'effetto non puo` precedere
la sua causa per alcun riferimento...
Ciao, Valter
Received on Wed Jul 04 2001 - 13:53:19 CEST
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