MarRraS ha scritto:
> No, vorrei risolvere una specifica equazione, solo che i coefficienti
> u,v,w hanno un'espressione veramente complicata (pero' possono essere
> valutati numericamente per ogni x) e non mi e' possibile riportarli
> qui. Per cui non mi e' molto chiaro come trovare le due soluzioni
> indipendenti g_1 e g_2 dell'omogenea associata. Dovrei comunque usare
> metodi numerici per risolvere l'omogenea; ma, per farlo, occorrerebbe
> specificare delle condizioni al contorno (quali?).
> Piu' che altro la mia domanda era: data l'equazione iniziale e il mio
> problema di condizioni al contorno da applicare, esistono procedure
> numeriche particolari per arrivare velocemente alla soluzione?
Premetto che non sono un esperto di calcolo numerico. Ho avuto molte
volte occasione di affrontare calcoli numerici, ma non ho fatto studi
particolari sull'argomento.
Pero' una cosa penso di poterla dire: non esiste risposta alla tua
domanda: bisogna esaminare l'equazione e a seconda dei casi
esisteranno porcedure piu' o meno efficienti e sicure.
In linea generale, mi assicurerei prima di tutto sulla "bonta'" delle
tue funzioni u,v,w. Non basta che siano continue, derivabili, magari
C^oo: e' importante che non abbiano andamenti "capricciosi".
Cio' posto, potrai integrare numericamente l'eq. omogenea, per es.
fissando una volta condizioni iniziali
f(x_0) = 1, f'(x_0) = 0
e una seconda volta
f(x_0) = 0, f'(x_0) = 1.
Questo ti garantisce che le soluzioni sono indipendenti.
Poi con c.i. a piacere trovi l'integrale particolare dell'eq.
completa, e il gioco e' fatto.
Se u,v,w non sono cattive, qualunque metodo d'integrazione andra'
bene, per es. il classico Runge-Kutta di quart'ordine. Ma forse ci
sono anche altri metodi che non conosco.
Non so che linguaggi di programmazione conosci, ma dovresti trovare
routines gia' pronte per tutti i principali linguaggi.
Altro possibile approccio, che terrebbe conto dall'inizio delle tue
effettive cond. al contorno. sarebbe un metodo variazionale.
Pero' non ho studiato la questione e non ti so dire se sia
applicabile, ossia se esista un funzionale che viene reso estremale
dalla soluzione che cerchi.
--
Elio Fabri
Received on Mon Sep 27 2010 - 20:55:48 CEST