Re: Metodo scientifico: consiglio per un buon libro...

From: Agostino Patella <agostino.patella_at_sns.it>
Date: Mon, 25 Jun 2001 15:06:02 +0200

Janus wrote:

> Pronti!
> In un campo radiale, se non erro, l'energia potenziale di una massa rispetto
> all'altra cambia in maniera inversamente proporzionale alla distanza fra i
> due corpi. Per�, se ho ben capito, su piccola scala [ad esempio al di sopra
> della crosta terrestre, per un intervallo di spazio di qualche
> chilometro(una decina?)] si pu� considerare,approssimativamente, il campo
> come se fosse continuo. E in un campo continuo l'energia potenziale �
> direttamente proporzionale alla distanza...il che mi pare un controsenso.
> Spero di esser stato comprensibile...

Se schematizziamo la Terra come una sfera omogenea, il campo gravitazionale
all'esterno e' lo stesso di quello generato da un punto di uguale massa
posto nel centro della sfera. Dunque
E = GM/r^
(^ indica il quadrato)
Inoltre E ha direzione radiale entrante.
Il potenziale e':
V = -GM/r + c
dove c e' una costante arbitraria. Di solito si sceglie c = 0 in modo che il
potenziale sia nullo all'infinito.
La cosa importante e' che il potenziale _aumenta_ all'aumentare della distanza
e questo esprime il fatto che la forza sia attrattiva.

Prova a disegnare la curva del potenziale
V(r) = -GM/r
su un riferimento cartesiano (r sulle ascisse e V sulle ordinate). Scegli un
punto R che rappresenta il raggio terrestre. Disegna in quel punto la retta
tangente
al grafico in quel punto. Non dovresti avere difficolta' a dimostrare che tale
retta
ha equazione:
y = -GM/R + GM(r-R)/R^ = k + g(r-R)
dove ho definito g = GM/R^

Ora dovrei convincerti del fatto che questa retta, approssima "bene" il grafico

del potenziale. Se immagini di fare degli ingrandimenti successivi attorno al
punto di coordinate (R, V(R)), dovresti poter intuire che la differenza tra
la curva del potenziale e la retta tangente va diminuendo, finche' praticamente

non coincidono. Quello che si puo' dire e' che la retta tangente e' quella
che approssima meglio il grafico (qui c'entra il calcolo differenziale).
Dopo aver riflettuto un po' su questo fatto, dovrebbe essere chiaro che,
finche' non ti tieni troppo lontano da R, allora si puo' sostituire il
potenziale
esatto con quello approssimato (la retta). Se indico con V' il potenziale
approssimato:
V' = k +g(r-R)
e siccome le costanti non contano nei potenziali, posso anche scrivere:
V' = g(r-R)
L'energia potenziale di un corpo di massa m in questo potenziale e' mg(r-R)
(oppure mgh come si trova scritto di solito).
Il comportamento non si e' _invertito_: il potenziale e ancora crescente.

Riepilogando:
1) il potenziale *corretto* e' V(r) = -GM/r
2) per piccoli spostamenti intorno a R (cioe' vicino alla superficie terrestre)

     il potenziale puo' essere approssimato a V'(r) = k + g(r-R)
3) si puo' sopprimere in V' la costante k e si ha V(h) = gh

Come hai detto tu, questo equivale a supporre il campo in prossimita' della
superficie terrestre praticamente uniforme (non "continuo", la continuita' e'
una cosa molto diversa). Allora se il campo corretto vale:
E = GM/r^
quello approssimato vale:
E' = g
(ti ricordo che g = GM/R^) ed e' ancora di verso entrante.

Chiaramente e' lecito chiedersi: per quali distanze e' valida questa
approssimazione?
In ogni caso usando E' al posto di E si commette un errore. Allora ci si puo'
chiedere per quali r l'errore e' magari minore dell' 1%. Si tratta di risolvere

la disequazione:
!E - E'!/E < 0.01
( ! indica il valore assoluto)

Credo che se non ti allontani per piu' di 50 km (ricontrolla il calcolo, l'ho
fatto molto
a naso) dovresti rientrare in questo errore. Dovresti dunque renderti conto che

per altezze ordinarie (8 km e' l'Everest) l'approssimazione e' ottima.

Spero di essere stato abbastanza chiaro. Sono comunque a disposizione
per ulteriori chiarimenti.

Ciao.
Agostino.

PS: Dell' Halliday - Resnick - Walker non ricordo il titolo. Comunque se vai
in una libreria
universitaria di una citta' dove ci sono facolta' scientifiche, dovrebbero
riconoscerlo
dal nome degli autori (e' molto usato). Sottolineo che e' quello in volume
unico e non quello
in due volumi (che e' troppo pesante per un primo approccio).
Received on Mon Jun 25 2001 - 15:06:02 CEST