Re: riflessione e trasparenza

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Wed, 22 Sep 2010 21:30:04 +0200

BlueRay ha scritto:
> Quelle tra le due facce le avevo deliberatamente omesse perche' tra
> una faccia e l'altra c'e' tutto l'assorbimento dello spessore di
> vetro, che puo' anche essere notevole, come gia' spiegato da altri in
> questo thread, e che contribuisce a determinare l'effetto di apparente
> asimmetria di trasmissione (vedi vetro dei film polizieschi che appare
> trasperente da una parte e riflettente dall'altra).
Io invece credo che l'assorbimento del vetro sia del tutto irrilevante.
L'effetto asimmetrico e' dovuto solo alla diversa illuminazione dei
due ambienti, come dice anche Peltio.

Peltio ha scritto:
> Nel caso degli occhiali a specchio, il conto secondo me torna perch�
> la differenza in riflessione va a finire nel vetro che si scalda
> (loosely speaking).
Io sono sicuro che il secondo principio non sara' violato anche se
c'e' assorbimento, ma non so dimostrarlo :-(

> Elio e gli altri, invece, stanno considerando materiali *non
> assorbenti*.
Vero.

> La considerazione che viene fatta l�, mi pare di capire, e'
> che se non c'e' assorbimento, vale la 'conservazione dell'energia' a
> ciascuna interfaccia (P_i = P_r + P_t
> --> 1=T+R) e alla fin fine se vedi lo stesso T da un lato e
> dall'altro, dovrai per forza vedere lo stesso R.
Gia', ma come giustifichi che T sia lo stesso?

> Intrigante e' il riuscire a dimostrarlo sommando tutte le riflessioni
> e trasmissioni multiple alle tre interfacce (credo di avere una
> soluzione elegante ma non c'� abbastanza spazio sul bordo di questo
> post per scriverla, ehm...ehm...)
Non dico che basti il margine :-) ma non c'e' bisogno di considerare
tutte le riflessioni. Vedi dopo.

> Secondo me Elio sta considerando materiali completamente trasparenti.
> E il problema e' (ai miei occhi) molto intrigante.
Voglio essere buono, anche perche' staro' via per un paio di giorni, e
non voglio che restiate svegli la notte per causa mia :-))
Del gatto invece non sono responsabile.

Ecco come si tratta il caso senza assorbimento.
Cominciamo col considerare una sola interfaccia tra due mezzi.

                          |
                          |
                 S1 | S3
             -----------> | ----------->
             <----------- | <-----------
                 S2 | S4
                          |
                          |
                          |

Assumo che la superficie sia investita da radiazione da entrambe le
parti, e che ci siano radiazioni riflesse. S1 S2 S3 S4 indicano le
intensita'.

Chiamo t il coeff. di trasmissione, r = 1-t il coeff. di riflessione.
Assumo che siano uguali nei due versi: lo giustifico o col solito
argomento del secondo principio, o ricorrendo alle formule di Fresnel,
che sono appunto simmetriche.

Allora tra S1 S2 S3 S4 ci sono due relazioni:

S3 = t*S1 + r*S4
S2 = t*S4 + r*S1

che conviene risolvere rispetto a S1, S2:

S1 = (S3 - r*S4)/t
S2 = (r*S3 + ((t-r)*S4)/t

alle quali possiamo dare forma matriciale:

(S1) (1/t -r/t ) (S3)
( ) = ( ) ( )
(S2) (r/t 1-r/t) (S4)

Sinteticamente:

u = (I + (r/t)*A)v

dove u e' il vettore colonna (S1,S2), v il vettore colonna (S3,S4), I
la matrice identita' e A la matrice che due righe uguali (1,-1).

Se ora abbiamo una successione di mezzi separati da superfici con
coeff. di trasmissione diversi: t1, t2 ... tn, la relazione tra u a
sinistra e v a destra si otterra' semplicemente moltiplicando tutte
queste matrici:

(I + (r1/t1)*A) * ... * (I + (rn/tn)*A).

Se la luce viene solo da sinistra, dovremmo porre S4=0 e potremo
risolvere per trovare S2, S3 in funzione di S1.
Se invece la luce viene da destra, potremo ribaltare il tutto, ossia
far venire la luce da sinistra ma con una matrice

(I + (rn/tn)*A) * ... * (I + (r1/t1)*A).

Ed ecco il punto: questi due prodotti di matrici *sono uguali*,
perche' le matrici fattori commutano tutte tra loro.
E cosi' la simmetria e' dimostrata, non proprio sul margine del
foglio, ma insomma :-)

Si puo' fare qualcosa di moto simile anche se c'e' assorbimento:
lascio a voi di vedere come.
Dovrete introdurre delle altre matrici che descrivono la propagazione
nel mezzo assorbente, ma troverete un differenza importante: in questo
caso il prodotto *non e' commutativo*, e quindi il sistema di piu'
mezzi assorbenti *non e' simmetrico*.
                             

-- 
Elio Fabri
Received on Wed Sep 22 2010 - 21:30:04 CEST

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