MarRraS ha scritto:
> Prendiamo un'equazione del secondo ordine, lineare a coefficienti non
> costanti:
>
> f''(x) = u(x)f'(x) + v(x)f(x) + w(x)
>
> Per risolverla occorrono due condizioni al contorno, tipicamente in
> f(x) e la sua derivata ad un dato x_0.
> Ad esempio il problema e' ben definito, credo, da condizioni del tipo:
> f(x_0)= A
> f'(x_0)=B
> (penso si tratti di un problema di Cauchy, ma non so nulla di
> equazioni differenziali).
> Se pero' avessi due condizioni su f(x) e f''(x) in due punti x_0 e
> x_1, cioe'
> f(x_0) = A
> f''(x_1)= 0
> il problema sarebbe eancora ben definito (soluzione unica?). Come
> potrei risolverlo? A quanto ne so, i metodi numerici standard
> funzionano per condizioni applicate allo stesso punto x_0 oppure per
> condizioni da applicare alla stessa funzione f(x) in due punti
> diversi.
Precisazione: si parla di "condizioni al contorno" quando si assegnano
valori ai due estremi di un intervallo. Si parla di "condizioni
iniziali" quando i valori sono asseganti in un unico punto.
Se ho capito bene, tu vuoi assegnare un valore a f", ma questo, stante
l'equazione, equivale a chiedere
u(x_1)f'(x_1) + v(x_1)f(x_1) + w(x_1) = 0,
ossia a imporre il valore di una certa combinazione lineare di f e di f'.
Questo caso, che e' una generalizzazione di quello piu' comune in cui
assegni il valore di f in x_0 e in x_1, e' un _problema di autovalori_.
Piu' esattamente, si parla di solito di problema di autovalori quando
w e' una costante: allora l'eq. non avra' soluzioni per una w
generica, ma solo per un insieme discreto di valori, che sono appunto
gli autovalori.
Non ho presente di aver mai incontrato il caso che proponi, ma a naso
direi che anche se w(x) e' una funzione non costante, mi aspetto che
solo per certe scelte della funzione la tua eq. ammettera' soluzioni.
Hai per caso in mente un esempio concreto?
--
Elio Fabri
Received on Wed Sep 22 2010 - 21:29:24 CEST