Re: Nuntio vobis gaudium magnum!

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Thu, 03 Jan 2013 00:28:25 +0100

Elio Fabri ha spiegato il 29/12/2012 :
> Il "gaudium" deriva dal fatto che sono finalmente arrivato in fondo a
> un conto che mi stava impegnando da (troppo) tempo.

Bene! Vedo un lavoro da sudare passaggio su passaggio nonostante la tua
abilit� nel semplificare e rendere chiara l'esposizione. Il calcolo
degli integrali che coinvolgono le funzioni delta(tot - f(x)) g(x) dx �
forse la parte pi� semplice eppure sono certo che mi coster� un certo
tempo venirne a capo con piena soddisfazione, intanto per� ti devo
porre delle domande perch� ci sono dei punti di cui temo di non
riuscire a venire a capo con il semplice impegno.

Mi spiace inoltre di avere completamente mancato il thread di cui
parli, relativamente a giorno 5, in quei giorni ero impegnato con i
test di una prova preselettiva per un concorso e non l'avevo proprio
visto.


> Del problema avevo gi� parlato in un thread del 5, intitolato "Mi
> aiutate a risolvere un dubbio?" dove chiedevo lumi su un punto
> particolare.

Ecco il thread:

https://groups.google.com/forum/?fromgroups#!topic/it.scienza.fisica/Rv9YXy4dAuc

se lo avessi letto per tempo avrei risposto due cose: la prima � che
nell'edizione che ho io Zanichelli ed. 1984 ristampa 1988, la formula
che dici, di Jackson, � numerata 16.91, la seconda � che a mio avviso
di certo vanno incluse tanto la densit� di carica quanto la corrente,
rappresentate correttamente come avevi scritto tu.

l'altro invece � questo:

https://groups.google.com/forum/#!topic/it.scienza.fisica/z9bc4wv2irM


> Su quel punto non ho avuto molte risposte, esattamente due:
> - una privata da Paolo Bellia, che per� non � stata risolutiva
> - un'altra da Vic Damone, che mi suggeriva di chiedere a Jackson...
> Comunque il dubbio su quel punto � superato: mi sono convinto che i
> termini ci vogliono entrambi. Anche per le ragioni che vedrete fra poco.

Non mi � chiaro perch� ti sorgesse questo dubbio in verit�, forse
perch� non tornavano i conti, oppure perch� speravi in una
semplificazione discendente dall'equazione di continuit�?


> Per chi non lo ricordasse, riassumo il problema.
> Mi ero chiesto se per la radiazione emessa da un sistema di cariche e
> correnti, lo sviluppo in multipoli equivalga a quello in serie di
> potenze del rapporto beta = wa/c (w frequenza, a dimensione tipica del
> sistema).
> Il dubbio era originato dal fatto che secondo il Landau (vol. 2,
> formula (71.5) dell'edizione inglese) la risposta sembrerebbe
> affermativa, mentre secondo il Jackson, che tratta il problema molto
> pi� a fondo, si direbbe il contrario.

Riprendo un attimo l'argomento per mettere a fuoco il punto. Cosa
scrive Landau? Calcola il potenziale vettore sviluppando la corrente
J(t'+rn/c), nell'integrale, di Lienard-Wiechert in serie di potenze di
rn/c conservando solo i primi due termini.

A questo punto, riscrive questo sviluppo in modo da evidenziare lo
sviluppo in multipoli statici. Quindi:

A = d' / cR0 + D''/(6 c^2 R0 ) + m' x n /cR0.

ne calcola H, ne calcola E e ne calcola un'approssimazione per la
potenza irradiata in termini dei multipoli statici.

Jackson per contro chiama sviluppo in multipoli un'altra cosa. Ovvero
lo sviluppo dei campi, secondo le componenti armoniche sferiche, che
risolvono l'equazione di Helmoltz per ciascuna componente di frequenza
\omega. Aggiunge per� (in un'equazione successiva a quella che nella
tua edizione � la 9.167 e nella mia � la 16.91, quindi secondo i miei
calcoli nella tua edizione la formula approssimata dovrebbe essere la
9.169) che queste componenti, quando lo sviluppo in termini di beta sia
fermato all'ordine pi� basso, coincidono con un'espressione in termini
di k^(l+2) e di Q(l,m) e Q'_{l,m} dove Q_{l,m} null'altro sarebbe se
non il momento di quadrupolo elettrico mentre Q' sarebbe un momento di
multipolo elettrico indotto, dovuto alla magnetizzazione, nel caso in
specie questo secondo termine non c'�.

Sempre stando a Jackson ne consegue che la potenza irragiata � una
somma incoerente in cui compaiono contributi di diversi multipoli. Per�
secondo Jackson occorre considerare non solo i multipoli elettrici, ma
anche i multipoli magnetici. E qui trovo una prima perplessit�: nella
tua espressione 8' i multipoli magnetici non compaiono, come mai?

L'altra perplessit� � di ordine logico. Se tutto quadra l'espressione
di Landau per lo sviluppo in multipoli � un'espressione approssimata
nella quale non � stato fatto lo sviluppo di Fourier delle sorgenti.
Tuttavia siccome la trasformata di Fourier � lineare, fin quando
calcoliamo i campo le componenti di Fourier di questa espressione
approssimata dovrebbero coincidere con l'espressione approssimata di
Jackson.

Secondo quanto trova Landau tenendo solo i primi due termini dello
sviluppo in serie di potenze della corrente in funzione di rn/c si
devono trovare diverse componenti di multipolo statici, in particolare
se teniamo solo il primo termine compare il solo dipolo statico, se
teniamo i primi due compaiono oltre al dipolo statico anche il
quadrupolo elettrostatico ed il dipolo magnetostatico.

Nel calcolo della potenza invece se ci limitiamo a calcolare il flusso
di queste espressioni approssimate di E x H rischiamo il classico
errore per cui lo sviluppo non � corretto fino all'ordine pi� alto dei
prodotti. per esempio (1+x)^4 = (1+x)^2 (1+x)^2 , se calcoliamo
(1+2x)(1+2x) troviamo 1+4x+4x^2 mentre lo sviluppo di (1+x)^4 =
1+4x+6x^2. differisce per 2x^2. Tuttavia io sono dell'avviso che fin
quando si limita alle espressioni dei campi elettrici e magnetici
Landau dovrebbe trovare delle approssimazioni perfettamente valide ed
in linea con le considerazioni di Jackson.

[...]

> Seguendo le formule di Jackson, si ottiene il coeff. a_{nl} del
> multipolo di ordine l per l'armonica n-ma, come serie di potenze in b.
> (Nel calcolo ho conservato entrambi i termini che appaiono nella
> [9.168] di Jackson:

un momento, negli appunti TEX la formula di riferimento per i
coefficienti era segnata come 9.167, nella mia edizione ci sono due
espressioni una pere a_E, la seconda per a_M rispettivamente 16.91 e
16.92 la prima per i multipoli elettrici, la seconda per i multipoli
magnetici (che sono presenti per effetto delle correnti chiuse).

> il fatto che alla fine abbia ottenuto accordo
> prova a posteriori che i termini soni entrambi necessari).
> E' quindi possibile confrontare ciascun termine della (*) con quelli
> che si ottengono sommando i contributi per i diversi n e l.
> Pi� in dettaglio:
> - il termine in b^2 proviene da solo a_{11}
> - il termine in b^4 proviene da a_{11} e a_{22}
> - il termine in b^6 proviene da a_{11}, a_{22}, a_{31}, a_{13}, a_{33}
> e qui mi sono fermato.
>
> Dopo innumerevoli errori di calcolo, sono riuscito a ottenere perfetto
> accordo con la (*) e quindi posso trarre la seguente conclusione:
>
> Lo sviluppo in potenze di b /non corrisponde/ allo sviluppo in
> multipoli: ogni termine di multipolo (per una data armonica) � una
> serie di potenze in b, mentre a ogni termine di dato ordine in b
> contribuiscono pi� multipoli e pi� armoniche.




> Se qualcuno fosse interessato a maggiori dettagli e a tutti i calcoli,
> trover� (per qualche tempo) il file
> http::/www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/temp/osc-rel.pdf
> Sicuramente un ottimo modo per passare la sera del 31 :-D

Received on Thu Jan 03 2013 - 00:28:25 CET

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