Re: forza complementare

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Wed, 13 Jun 2001 12:32:21 +0200

Luca wrote:
 
L> Alcune domande su questo argomento:
L> 1)Per lo studio dell' equilibrio di un sistema soggetto a
L> sollecitazione non
L> conservativa data dall' azione della forza di Coriol�s si
L> procede valutando
L> ovviamente le forze a velocit� nulla, quindi quando si cerca L> il
potenziale per derivarlo non si tiene conto dell'
L> eventuale forza di Coriol�s presente e si procede
L> derivando o facendo l'hessiano) quindi come se la
L> sollecitazione fosse
L> conservativa, giusto?

Ciao, se e` tutto indipendente dal tempo e se ti interessano
solo *quali siano* le configurazioni di equilibrio la risposta
e` si (anche se non ho capito bene la domanda). La discussione della
stabilita`dell'equilibrio mi pare piu` complicata...
e ci dovrei pensare un po' (l`hessiana entra in quest'ultimo discorso):
bisogna tirare fuori i teoremi di Liapunov perche`
il teorema di Dirichelet e` apparentemente inapplicabile essendoci forze
dipendenti dalla velocita'.
 
L> 2)Nel caso la forza di Coriol�s faccia lavoro nullo ma sia
L> presente nel sistema,

La forza di Coriolis fa *sempre* lavoro nullo essendo perpendicolare
alla velocita`.

L> come � possibile che le componenti lagrangiane Q_h di tale
L>forza possano essere diverse da zero? Infatti, la definizione L>di
tali componenti porta (se i vincoli sono indipendenti dal L>tempo) alla
formula dL = Q_h *dq_h (dove ho tutte quantit�
L> scalari (quindi * � il prodotto
L>usuale tra numeri reali) e dL � il lavoro effettivo mentre L>dq_h � il
L> differenziale dell'h-esima coordinata lagrangiana).
L> Per cui annullandosi il dL relativo alla forza di coriol�s
L> dovrebbe
L> annullarsi anche la Q_h ma invece ho il dubbio che esistano L>
casi(non saprei
L> farvi neppure un esempio) in cui le componenti lagrangiane L>sistono
anche se
L> il lavoro della Forza di Coriol�s � nulla.Io penso che questi L>casi
siano
L> solo quando i vincoli dipendano dal tempo, ma non ne sono
L>sicuro.Voi che ne
L> pensate?
L> In quali casi posso invece affermare con sicurezza che le
L>componenti
L> lagrangiane di tale forza sono nulle?
(taglio)

Hai fatto un bel po` di casino :-).
Allora se prendi un punto soggetto alla forza tipo
quella di Coriolis o quella magnetica di Lorentz,
F = H x v
dove H e` un vettore che dipende dal tempo e dal posto
e` chiaro che il lavoro e` nullo banalmente.
Le componenti lagrangiane invece NON lo sono in generale.
Vale infatti (dove _at_/_at_q^j e` il simbolo di derivata parziale
rispetto a q^j)

Q_k = (H X v) . _at_x/_at_q^k

(il puntino indica il prodotto scalare e X quello vettoriale)
ossia, con la somma sugli indici ripetuti (j) sottointesa,
e indicando con q' il "q punto"

Q_k = (H X _at_x/_at_q^j) . @x/_at_q^k q'^j

Allora vedi che, a meno che la coordinata lagrangiana
NON sia una sola (= punto vincolato ad una curva)
Q_k risulta essere *diverso da 0*.
Infine

dL = Q_k dq^k = (H X _at_x/_at_q^j) . @x/_at_q^k q'^j dq^k (1)

questo e` nullo solo quando interpreti dq^k come
q'^k dt dove ogni q'^k e` proprio (a parte un fattore numerico
indipendente da k) lo stesso q'^j con j=k, che compare
a secondo membro in (1), altrimento no dL non e` nullo
(e non e` il lavoro reale compiuto in dt).
Quindi l`annullarsi del lavoro (cosa che avviene sui
moti del sistema) non implica l'annullarsi di quel dL
di sopra (che potremmo pensare come lavoro virtuale se la
sollecitazione fosse una reazione vincolare). Il problema e` tutto nel
fatto che la Q stesse dipendono dalle q'
(ovvero dalle dq^k).
Se non fosse cosi'la cosa sarebbe invece come dici tu.
Perche` se vale:

(somma su k) Q_k dq^k = 0 per tutti i dq^k,

se i Q_k NON dipendono dalle dq^k, si ha subito che
che Q_k = 0 per ogni k (lo sai provare?).
Ciao, Valter
Received on Wed Jun 13 2001 - 12:32:21 CEST