Re: cinematica relativa

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Fri, 10 Sep 2010 21:27:16 +0200

carlo spinelli ha scritto:
> ...
> v = v_M + r_x di/dt + r_y dj/dt + r_z dk/dt
>
> da qui in avanti non so pu� dove andare a parare. Dovrei sfruttare il
> fatto che la derivata temporale di un vettore a modulo costante (come
> i versori) � data da un prodotto vettoriale facile da dimostrare. Ma
> ci� vale solo se w � costante, quindi per il sistema F. Mi mette un
> po' in crisi l'idea di mescolare in una stessa equazione coordinate
> prese da due sistemi di riferimento diversi (anche se di fatto � ci�
> che accade, banalmente, nelle trasformazioni di galileo).
Vediamo se riesco a risolverti il problema, che credo di aver capito.
Prova a pensare tutto nel rif. F.
Niente ti vieta di guardare anche i, j, k come vettori di F: solo che
non sono vettori costanti.
La relazione

r = r_x i + r_y j + r_z k

resta corretta: qualunque vettore puo' essere scritto come
combinazione lineare di i, j, k, anche se questi sono vettori mobili.
L'importante e' che siano linearmente indipendenti.
E naturalmente r_x, r_y, r_z sono *anche* le coordinate del punto P
nel rif. M, per cui le loro derivate sono le componenti della
velocita' di P rispetto a M.
Ma anche questo vettore puo' essere visto com un vettore di F, solo
che in genere non sara' costante, anche se per es. lo fosse in M (se P
si muovesse di moto rettilineo uniforme rispetto a M).
Quindi nessun problema: il passaggio che ti manca e' calcolare di/dt
ecc.
Conosci la soluzione? (si chiamano formule di Poisson).

> ...
> Quale equazione mette in relazione le velocit� nei due sistemi di
> riferimento diversi? Ciascun vettore in tale equazione in quali
> sistemi di riferimento va misurato?
La relazione in termini generali e' molto semplice:

v_F = (v_M) + v_rel

dove v_F e' chiaro che cosa significa.
v_M anche, e la parentesi la spiego tra un momento.
v_rel e' la velocita' del punto di M che all'istante considerato si
trova a coincidere con P.

Perche' ho scritto (v_M) e non semplicemente v_M?
perche' sono due cose diverse.
v_M sarebbe il vettore velocita' di P rispetto a M.
Ma questo vettore va *trasformato* al rif. fisso; nel tuo esempio con
una rotazione.

Suggerimento: prova a ragionare con le componenti fin dall'inizio,
senza introdurre i vettori i,j,k.
Avrai le coordinate x_M, y_M, z_M di P rispetto a M, e anche x_F, y_F,
z_F rispetto a F.
Scrivi le relazioni tra queste due terne di coordinate; deriva
rispetto al tempo, e poi cerca d'interpretare il risultato...

Poi magari ne riparliamo.
                        

-- 
Elio Fabri
Received on Fri Sep 10 2010 - 21:27:16 CEST

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