Re: Dubbi sulla forma dell'universo

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: Wed, 11 Apr 2001 01:12:38 GMT

Menegatti Vittore <dossogallina_at_libero.it> scritto nell'articolo
<QL4w6.2032$fO3.98303_at_news.infostrada.it>...
>
> dumbo <_cmass_at_tin.it> wrote in message
01c0b255$85417e00$bd85d8d4_at_default...


 (cut)

> > Secondo la RG lo spaziotempo su scala cosmologica �
> > certamente curvo, lo spazio invece pu� esserlo o non esserlo,
> > la RG da sola non � abbastanza rigida per arrivare a specificarlo.
> > L'osservazione non dice ancora niente in proposito,
> > � a un livello troppo rudimentale.
 
> Allora le notizie sulle osservazioni del Boomerang
> si riferiscono allo spazio, non allo spazio-tempo?

precisamente.
(scusa il ritardo nella risposta ma il mio pc �
rimasto bloccato per una settimana).
  

> Ma cosa si intende con lo spazio-tempo curvo?

Hai presente cos'� una metrica ?
E' una formula che d� la distanza fra due punti
vicini. La metrica dipende dalle coordinate
e quindi dal numero di dimensioni;
In tre dimensioni si usano metriche diverse da
quelle che si possono usare nello spaziotempo
a quattro dimensioni (la diversit� viene anche
da una differenza nei segni algebrici, ma non entro
in dettagli adesso).

In entrambi i casi per� si pu� costruire (usando
una metrica) una struttura matematica
che si chiama tensore di curvatura o tensore di
Riemann, lo chiamo brevemente Riemann.
Quando Riemann = 0, si dice che
non c'� curvatura; altrimenti si dice che
c'� curvatura. In cosmologia, almeno in RG,
se calcoli Riemann usando una metrica spaziale
puoi ottenere il valore zero, e allora dici che la
curvatura dello spazio � nulla (spazio piatto).
Se invece calcoli Riemann con una metrica
spaziotemporale non ottieni _ mai _ zero, cio� lo
spaziotempo ti risulta _sempre_ curvo.

Detto cos� sembra molto astratto, ma in realt� non
lo �, Riemann � legato a propriet� fisiche
molto concrete; per esempio (lasciando da parte per ora
la cosmologia) le maree sono dovute alla curvatura dello
spaziotempo (causata dal sole e / o dalla luna).
Anche se nelle formule newtoniane non compare mai,
il vero protagonista delle maree � Riemann :
se fosse zero (spaziotempo piatto) vicino alla terra, non si
avrebbe nessuna marea. Il perch� non � facile da dimostrare
senza formule e / o disegni.

> Io credevo si riferisse al fatto che una volta raggiunta
> la max espansione l'universo avrebbe cominciato a contrarsi.

Il fatto che dici � legato alla curvatura dello spazio.
Se ha curvatura positiva, l'espansione si inverte; altrimenti no.
(questo secondo la RG standard; se per� la modifichiamo
mettendoci il cosiddetto termine cosmologico si pu� avere
uno spazio che si espande per sempre anche se la sua curvatura
� positiva).
Curvatura positiva vuol dire questo: se disegni un
triangolo (definendolo nel solito modo, come quella cosa fatta
di tre segmenti di retta che si incontrano, e per segmento di retta
intendo, come nella geometria euclidea, la linea pi�
breve tra due punti) e misuri gli angoli interni, trovi che la loro somma
� maggiore di centottanta gradi. ( " maggiore " , e quindi curvatura "
positiva " );
la curvatura � invece negativa quando la somma � minore di 180; se �
esattamente 180 (come nella geometria di Euclide) la curvatura � nulla.

Un esempio di curvatura positiva � quella della superficie di una
sfera:
immagina di tracciare un triangolo con base AB sull'equatore,
e lati AC e BC entrambi perpendicolari ad AB e convergenti
al polo nord C (ripeto che i lati devono essere le linee pi� brevi
possibili tra tutte quelle che congiungono i tre vertici prefissati);
la somma degli angoli alla base � 180 (perch� sono
entrambi retti); l'angolo al vertice (cio� al polo) � ovviamente
maggiore di zero; quindi la somma degli angoli interni
� maggiore di 180 e la superficie sferica per questo viene detta
a curvatura positiva. Invece, come esempio di superficie a curvatura
negativa ti propongo l'interno di una tromba, o la superficie di una
sella, per� in questi casi non � facile vederlo senza disegni; se
suoni la tromba o vai a cavallo puoi fare la prova con una matita.
Vedrai che la somma degli angoli interni � sempre minore di 180.
Il terzo caso, cio� la curvatura nulla, � quello di un foglio di carta;
disegnaci sopra un triangolo (sempre con la ricetta generale
che ho detto, cio� i lati devono essere le linee pi� brevi che
congiungono i vertici) e troverai 180.

A questo punto puoi verificare tutto con Riemann.
Nel caso del foglio piatto, scegli un sistena di coordinate qualunque
(es il solito sistema ortogonale xy) e prendi due punti qualsiasi
A e B; la loro distanza sar�

[ (dx)^2 + (dy)^2 ] ^ (1 / 2) ( 1 )


come si sa dalla geometria analitica elementare: dx � la differenza fra
l' x di A e l'x di B, dy � la differenza fra l' y di A e l'y di B.
OK ? Questa � appunto una metrica possibile sulla superficie
piana; ne sono possibili infinite altre, per esempio se usi coordinate
oblique, o coordinate polari, o quelle che ti pare: ognuna porter�
a una metrica diversa. Comunque la ( 1) v� benissimo.
Adesso con questa metrica puoi calcolare Riemann
(in un modo che ti risparmio) e il risultato � esattamente zero.
Cio� la curvatura � nulla: proprio come avevamo visto
misurando la somma degli angoli del triangolo, solo che questa volta
non c'� stato bisogno di fare disegni o di misurare alcunch�.
Lo abbiamo trovato solo col calcolo..Se poi invece della metrica
( 1 ) ne usiamo un'altra (es. come ti ho detto, una fatta con coordinate
polari o oblique o come ti pare) non cambia niente: Riemann
risulta sempre zero. E questo � ovvio, perch� la curvatura di una
superficie non pu� dipendere dal sistema di coordinate che usi per
descriverla. E' una realt� oggettiva, non � una convenzione.

Adesso passiamo alla sfera: disegniamo anche l�, sulla
superficie, due punti qualunque A e B e troviamo una
formula capace di esprimere la distanza AB in funzione
delle coordinate di A e B. Cio�, troviamo una metrica.
Le coordinate che possiamo usare sono la latitudine V
e la longitudine W (per esempio). Il risultato �:

distanza = R [ (dV) ^ 2 + (cos V) ^ 2 (d W)^2 ] ^ ( 1 / 2 ) ( 2 )

dove R � il raggio della sfera, e " d " esprime la differenza tra
ecc ecc, come nella ( 1 ).

Con questa metrica si pu� calcolare Riemann: ancora una volta
ti risparmio i calcoli, ti dico solo che il risultato non � pi�
zero, quindi siamo sicuri che c'� curvatura;
e risulta anche una curvatura positiva;
e un risultato analogo lo trovi sulla sella (solo che l� risulta una
curvatura negativa).

Quindi tutti i risultati trovati col disegno sono confermati
dal puro calcolo astratto, basato sul tensore di Riemann:
Insomma, � giusto che Riemann sia chiamato tensore di
curvatura, ed � giusto usarlo come strumento matematico
per vedere col calcolo se una superficie (ma anche uno spazio,
o uno spaziotempo: Riemann esiste in qualunque
numero di dimensioni ) � curva o no, e (se � curva) come e
quanto lo �. Non so se mi sono spiegato.
Purtroppo non posso scriverti qui la lunghissima espressione
matematica che permette di calcolare Riemann
a partire dalla metrica.Il calcolo comunque non � difficile
(basta saper fare le derivate).
 
> Ma ora capisco che non � questa la spiegazione.
> Credo di confondere i termini "spazio" e "spazio-tempo".

Sono due cose molto diverse: intanto, i punti dello spazio
sono ordinari punti geometrici, mentre i punti dello spazio
tempo sono eventi, cio� avvenimenti, cose che succedono.
(questo perch� nella fisica, a differenza che nella
geometria ordinaria, non c'� solo il dove, ma anche il
dove e il quando).
Poi lo spaziotempo ha una dimensione in pi� dello spazio,
(perch� c'� dentro anche il tempo); avendo geometrie cos�
diverse, in generale uno pu� essere curvo e l'altro no.
Oppure entrambi curvi, oppure entrambi piatti.
Nella cosmologia standard della RG lo spaziotempo � _sempre_
curvo, lo spazio invece pu� esserlo o non esserlo.
Questo vuol dire che lo spazio tridimensionale
pu� anche essere euclideo e il tensore di Riemann in tre
dimensioni pu� annullarsi; invece in quattro dimensioni
Riemann non si annulla mai.

> > Questa storia che ti toglie il sonno � nata con il modello
> > inflazionario, il quale (secondo la divulgazione affrettata)
> > implicherebbe uno spazio piatto su scala cosmologica.
 
> Ti confesso che effettivamente questa storia l'ho letta
> decine di volte nei libri di divulgazione, ma non ne ho
> mai capito il significato : |

Nella fase inflazionaria lo spazio si � espanso in modo improvviso
ed enormemente veloce; ma questo non basta ad appiattirlo;
se all'inizio era piatto, � rimasto piatto; se era curvo, � rimasto
curvo, conservando lo stesso tipo di curvatura (positiva o negativa).
Se soffi in un pallone con estrema violenza il pallone diventa
istantaneamente gigantesco ma non smette per questo
di essere un pallone; la sua superficie non diventer� mai piana,
per quanto tu soffi, e nemmeno diventer� a sella. Il raggio pu�
diventare cos� enorme, da rendere la curvatura minima,
_ praticamente_ impossibile da misurare (se il pallone � molto
grande, una formica che zampetta sopra pu� pensare di vivere su
un piano) ma non diventer� mai esattamente zero, e tantomeno
negativa.

Noi non sappiamo com' era lo spazio prima dell'inflazione,
se piatto o curvo; se era piatto, � piatto anche adesso, se
era curvo, � curvo anche adesso. Il modello inflazionario,
come pure il modello standard, non dice niente sulla
curvatura iniziale, e quindi nemmeno su quella odierna.
Le osservazion di Boomerang non permettono di decidere.
Spero comunque che tu dorma tranquillo. O ti ho procurato
nuovi incubi ?

Ciao
Corrado
Received on Wed Apr 11 2001 - 03:12:38 CEST