cinematica relativa

From: carlo spinelli <cspine78_at_gmail.com>
Date: Fri, 3 Sep 2010 13:49:00 -0700 (PDT)

Forse la domanda apparir� banale. Ma ci ho pensato intensamente pi� di
una volta in treno tornando da lavoro, e non ne sono venuto a capo (n�
mi ha risolto il problema cercando con google). Mi sono un po'
impuntato e la cosa comincia a diventare frustrante :-)

Vengo al dunque.

Consideriamo 2 sistemi di riferimento ortonormali avente origine
comune e rotanti l'uno attorno all'altro.
Chiamiamo F (di "fisso") uno di questi due sistemi, e supponiamo che
il secondo sistema ruoti con velocit� angolare w (non c'� la omega
nella tastiera... uso il w!). Il vettore w � fisso nel sistema F.

Ora considero un punto P in moto. Siano i, j e k i tre versori del
sistema rotante (che chiamo arbitrariarente "mobile") M. Il vettore r
che individua il punto in moto deve essere combinazione lineare di i,
j e k:

r = r_x i + r_y j + r_z k

Derivando rispetto al tempo abbiamo

v = dr_x/dt i + r_x di/dt + dr_y/dt j + r_y dj/dt + dr_z/dt k + r_z dk/
dt

ma dr_x/dt i + dr_y/dt j + dr_z/dt k coincide con la derivata di r
rispetto al tempo, secondo il sistema di riferimento M (si pu�
mostrare che coincide col rapporto tra lo spostamento infinitesimo e
il tempo infinitesimo) quindi

v = v_M + r_x di/dt + r_y dj/dt + r_z dk/dt

da qui in avanti non so pu� dove andare a parare. Dovrei sfruttare il
fatto che la derivata temporale di un vettore a modulo costante (come
i versori) � data da un prodotto vettoriale facile da dimostrare. Ma
ci� vale solo se w � costante, quindi per il sistema F. Mi mette un
po' in crisi l'idea di mescolare in una stessa equazione coordinate
prese da due sistemi di riferimento diversi (anche se di fatto � ci�
che accade, banalmente, nelle trasformazioni di galileo).

Mi piacerebbe, se non la dimostrazione, almeno la soluzione del
problema (poi potrei provare a pensarci su ancora un po', per� mi
piacerebbe anche qualche conto se avente tempo e voglia :-)). Quale
equazione mette in relazione le velocit� nei due sistemi di
riferimento diversi? Ciascun vettore in tale equazione in quali
sistemi di riferimento va misurato?
Received on Fri Sep 03 2010 - 22:49:00 CEST