Re: Integrazione.

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Mon, 19 Feb 2001 14:59:36 +0200

Sarahhh wrote:
1> > (Per essere veramente pignoli e per concludere che f(x)
2> > NON e' integrabile su ]1,2] puoi ora ragionare cosi'.
3> > Essendo la funzione integrale una funzione continua al variare
4> > dell'estremo di integrazione fino ai bordi del dominio della funzione
5> > integranda quando la funzione integranda e' integrabile,
6> > la funzione f(x) non puo' essere intgrabile in ]1,2] perche' la funzione
7> > integrale dovrebbe valere +oo in 1...)
8>
9> ok, fin qui ci siamo.

1> Ma ti porto questo esempio:
2> considera questa funzione: f(x) = lg (1-x) con x appartenente a [0, 1[
 
1> lim per x --> 1 e' chiaramente +oo,

Vuoi dire -oo !


1> ma poiche' sappiamo che se esiste
2>
3> lim (b - x)^a*f(x) = m (m = limite finito)
4> x -> b-
5>
6> e la f : [a,b[ --> R+ U {0} e' Riemann integrabile in ogni intervallo
7> [a,x] con a < x < b, allora se 0 < m < +oo oppure m = 0 e
8> 0 < a < 1, allora esiste l'integrale improprio. Viceversa, no.
9 > Ora, poiche' lg (1- x) e' un infinito di ordine inferiore
10> ad 1/2, secondo questo teorema sopracitato, e' R/int.
11> Nonostante il suo limite per x --> 1 sia +oo.

OK

1>
2> Quindi il fatto che il limite venga +oo, fa scattare il campanello
3> d'allarme su come si possa comportare la funzione ( e quindi
4> l'integrale) in quel punto. Ma magari si trova un espediente
5> per il quale o ridefinisci la funzione per continuita' oppure
6> applichi un teorema che ti permetta di concludere che,
7> se trovi particolare circostanze (la costante alfa fatta
8> in un certo modo o il limite finito) allora la f e' R/integrabile.


Dubbio lecito ma risposta negativa.
Il fatto che il limite di F(X) = integrale da_a a X di f(x) sia finito
oppure no per X-> b^- punto in cui la funzione f e' singolare, NON
dipende dal cambio di variabili che tu esegui nell'integrale purche'
il cambio e' ammissibile (la trasformazione e' differenziabile con
continuita' ed invertibile con inversa differenziabile con
continuita' in ogni itervallo [a,b'] con b'<b). Per
cui e' sufficiente dimostrare la convergenza o la divergenza per
una scelta di variabili, tutte le altre scelte ammissibili
si comportano nello stesso modo.

Ciao, Valter
Received on Mon Feb 19 2001 - 13:59:36 CET