Re: Già che ci sono: principio delle geodetiche e principio di equivalenza

From: Valter Moretti <valter.moretti_at_unitn.it>
Date: Sun, 24 Jul 2022 05:26:12 -0700 (PDT)

Ciao Elio,


> Per prima cosa chiarisco che la profonda differenza sta tra come
> vengono trattati i vari campi classici (es. eq. di Maxwell) da una
> parte, e le funzioni d'onda dall'altra.
> Un campo classico - prendiamo il pot. scalare - è una funzione R^4-->R
> (o magari un dominio più ristretto di R^4, ma sempre un aperto).
> A questa funzione chiediamo proprietà di differenziabilità: forse C^2
> basta?)

Dipende dalla situazione

> Questo è più forte che chiedere derivabilità rispetto a tutte le
> coordinate: si vuole che esistano tutte le derivate direzionali, e
> siano esprimbili come combin. lineari delle derivate parziali rispetto
> a x,y,z,t.


Se le 4 derivate parziali, in un aperto, sono ciascuna continua (nella 4 variabili insieme) allora in quell'intorno la funzione è differenziablie nel senso che hai scritto ( esistono tutte le derivate direzionali, e
 sono esprimbili come combin. lineari delle derivate parziali rispetto
a x,y,z,t. )
 
>
> In MQ invece si chiede la convergenza in norma, che in L^2 è una
> proprietà integrale.
> Quindi da un lato si accettano funzioni meno "buone" di quelle che si
> accetterebbero come potenziale scalare, ma dall'altro il limite
> (derivata in un punto) coinvolge *tutto* il dominio della funzione,
> causa l'integrale.



Sì, una cosa abbastanza strana, ma naturale nella teoria dei semigruppi in analisi funzionale, non solo per quanto riguarda l'equazione di Schroedinger, ma anche per esempio lavorando (da matematici!) con quella del calore.
>
> E ora alcuni dubbi.
> Tutto bene per l'evoluzione temporale, ossia per l'azione sullo spazio
> di Hilbert del gruppo delle traslazioni temporali.

> Ma che succede con le traslazioni spaziali?
> Come gruppi astratti traslazioni in x e trasl. in t sono isomorfi, ma
> l'azione è diversa.
> Se T_a è l'operatore (unitario) che rappresenta una traslazione
> spaziale di ampiezza a, la sua azione su una f. d'onda f(x) è
> definita da
> T_a f(x) = f_a(x) = f(x-a).
> In primo luogo, essendo a un reale qualsiasi, occorre che f abbia per
> dominio tutto R.


Esatto, infatti se si lavora in L^2(R^3), ogni funzione che vive lì dentro va bene. Infatti l'operatore impulso come generatore delle traslazioni esiste solo lavorando su tutta la retta reale (qualcosa si fa con il segmente e condizioni periodiche, ma non si recupera tutto).

> Secondo:
> T_a = exp(-iaP) (1)
> e
> df_a/da = -iP f_a = -df_a/dx
> da cui
> P = -i d/dx. (2)
> Ma queste che derivate sono? In norma?

Quelle sono "derivate deboli" e non c'entrano niente con il discorso di prima.

 Dietro a tutto c'è il famoso teorema di Stone che citi sotto. Prendi un gruppo di operatori unitari ad un parametro V_s, dove s vive in tutto R, e il gruppo è additivo: V_sV_u = V_{s+u}, V_0=I.

Teorema di Stone: Il gruppo si può scrivere come
V_s = e^{-isA}
per qualche operatore autoaggiunto A (con un suo dominio che non coincide con tutto lo spazio in generale) se e solo se la mappa
s -> V_s psi è

continua e differenziabile in norma (basta per s=0 e vale ovunque), per ogni psi fiissato nello spazio di Hilbert. A suddetto è unico e il suo dominio è dato dai vettori dello spazio di Hilbert psi per cui V_s psi è derivabile (in norma) per s=0.


Nel caso delle traslazioni lungo una direzione l'operatore impulso è il generatore A. Ma questo esiste se e solo se il gruppo è differenziabile nella topologia detta che si chiama topologia operatoriale forte (se la leggi togjiendo psi che è arbtrario ma fissato)
>
> A questo punto io mi perdo, perché conosco alcuni risultati che non so
> come mettere insieme.
> Il teorema di Stone mi assicura che P come scritto in (1) esiste,
> autoaggiunto (e per di più unico).

> Quanto alla (2) però so che l'operatore i*derivata esiste autoaggiunto
> nel dominio delle funzioni assolutamente continue con derivata in L^2.
> E' chiaro che la situazione è più complicata che nel caso delle
> traslazioni temporali...
>

Non capisco esattamente dove sia la complicazione peggiore, mi sembra che stai mischiando due questioni (due usi delle derivate) .

Una è la derivata che devi usare per applicare il teorema di Stone che è la stessa nozione che usi per la derivata in t nell'equazione di Schroedinger, che*è* il teorema di Stone.
Le altre sono possibili derivate che appaiono quando vai a vedere come sono fatti i generatori autoaggiunti A.



 L'operatore impulso ha il dominio che dici sopra (se siamo in 1D, altrimenti è diverso). E la derivata che si usa per scrivere l'operatore in questo caso, proprio per l'uso di quel dominio è in senso debole. Diciamo che la funzione di L^2 (per esempio, ma basta che sia misurabile) f ammette derivata debole g (altra funzione misurabile) se

int f dh/dx dx = - int g h dx per ogni funzione teste (smooth a supporto compatto) h.


E' chiaro che f potrebbe non essere derivabile in alcun punto e pure ammettere derivata debole, dato che l'integrale non vede per esempio i numeri razionali. Però se una funzione è derivabile allora lo è anche in senso debole e le due derivate coincidono.

Da qui, riferendosi all'operatore momento, si può avorare con funzioni ancora più regolari in un sottodominio dell'operatore momento: funzioni *veramente* differenziabili .






Non è che cambi molto per l'operatore di Hamilton. Nell'equazione di Schreoedinger l'Hamiltoniano H (come generatore di Stone) ha un suo dominio di autoaggiunzione complicato fatto di funzioni differenziabili in senso debole come per l'impulso. Però puoi lavorare con funzioni C^2 che stanno in quel dominio (lì sopra l'operatore non è più autoaggunto) e allora, a parte il problema con la derivata in t, ottieni l'equazione di Schroedinger nel senso delle PDE. Poi si può far vedere che se la funzione (t,x,y,z,) -> psi(t,x,y,z), che soddisfa l'equazione di S. con derivata temporale in norma, ammette anche derivata standard puntuale in t, allora l'equazione di Schroedinger è soddisfatta anche nel senso delle PDE anche nella variabile t (non ricordo bene le ipotesi ma non sono pesanti, è uno di quei casi dove tutto fila liscio).



In queste restrizioni bisogna stare attenti a non stringere troppomil dominio per cui l'operatore che trovi non è più strettamente impartentato con il generatore di Stone. Esiste un bestiario di casi che i fisici matematici (quantistici) conoscono bene, mentre i fisici teorici di solito ignorano totalmente.

> Ma non ho finito.
> In mecc. q. relativistica è fondamentale il gruppo di Poincaré, che
> include sia traslazioni spaziali sia temporali. Senza contare il
> gruppo di Lorentz, che mescola spazio e tempo.
> Dicendo m.q.r. non intendo teoria dei campi: penso alla m.q. di una
> singola particella, mettiamo pure di spin 0 per eliminare una sfilza
> di questioni.

OK
> Ovviamente non posso ammettere un trattamento speciale per le
> traslazioni temporali: t,x,y,z debbono essere sullo stesso piano.


Infatti è così. La rappresentazione del gruppo di Poincaré in termini di operatori unitari è come sopra fortemente continua *congiuntamente* in tutte le coordinate che metti sul gruppo.

> (Anche se nei primi anni '60 con Picasso lavoravamo proprio a un
> approccio opposto: una m.q.r. che in ogni dato rif. inerziale è
> costruita come la m.q. non relativistica a parte la forma della
> hamiltoniana.)
> Che significato hanno in questo caso le derivate rispetto alle
> coordinate?




Nel caso di Poincaré conviene lavorare in rappresentazione impulso, ma le derivate vengono fuori ugualmente (in k) Hanno significato solo se lavori su sottodomini dei generatori su cou tali generatori autoaggiunti diventano veri e propri operatori differenziali. Normalmente questi domini sono abbastanza buoni tanto da mantenere tutte le informazioni della rappresentazione. Però i fisici teorici normalmente non si preoccupano di questi dettagli perché si aggiusta tutto (quasi sempre).




Le derivate nello spaziotempo invece si usano sulle traformate di Fourier delle funzioni su cui agisce il gruppo. Allora lì cìè il gioco di come le regolarità si passano da un lato all'altro. Per esempio lo spazio di Schwartz viene trasformato nello spazio di Schwartz.Le derivate spaziali sono usuamente in senso ordinario, almeno quando la rappresentazione impulso è presa in un dominio ristretto abbastanza buono dei generatori. Esistono lavori fondazionali e findamentali su queste questioni di regolarità dovuti moltia Garding e a Nelson (ma non solo).
>
> Chissà se sono riuscito a farmi capire...

Penso di sì, non so io.
> --
> Elio Fabri
Received on Sun Jul 24 2022 - 14:26:12 CEST