Massimiliano Catanese ha scritto:
> Il punto che (mi pare) cerca di dimostrare quel professore è il
> seguente :
>
> non è vero (come pensavo io sbagliando) che la velocità dell' acqua
> aumenta dove la sezione è minore *perché la portata è uguale in
> ogni punto del tubo* (e quindi dove la sezione è minore ci vuole più
> velocita per compensare).
>
> Invece (dice lui) la v. aumenta perché (mi pare e sottolineo il
> "pare" di capire) se io stringo la sezione aumenta la differenza di
> pressione tra l'interno del tubo e l'esterno. O qualcosa del genere.
>
> Ma sarà vero? E perché aumenta 'sta differenza di pressione? E
> come è possibile che i tutti i libri di fisica for dummies che ho
> letto finora danno invece la spiegazione vecchia che (con tanta
> fatica) avevo capito io?
>
> Ma non è che in realtà gira che ti rigira sono due punti di vista
> equivalenti a meno di una qualche trasformazione di riferimento o ...
> non so?
Saprai di certo che da molto tempo evito di rispondere ai tuoi post, e
forse sai anche le ragioni (non le condividerai di certo, ma non ce ne
sarebbe motivo: sono le *mie* ragioni).
Però stavolta ho deciso di fare un'eccezione, perché il tuo problema
mi pare parecchio importante per la didattica della fisica.
Si presenta di continuo in molti esempi diversi e mi sono sempre
chiesto com mai non l'ho mai visto neppure sfiorato, non dico nei
testi, ma nelle discussioni didattiche. Sarà ignoranza mia...
Franco ha scritto:
> Sì, direi che siano due punti di vista equivalenti.
Non sono d'accordo. Spiego più avanti.
> Quando ragioni per portata stai considerando la conservazione
> della massa:
Non della massa, del volume.
Se si trattasse di un gas le cose sarebeo più complicate: la massa si
conserverebbe comunque, ma non ti darebbe la semplice relazione tra
sezione e velocità.
Questa vale perché il liquido è praticamente incomprimibile, per cui
conserv. della massa = conserv. del volume.
> ...
> Invece l'altro punto di vista riguarda il comportamento locale
> dell'acqua. Studi localmente cosa capita, ad esempio usando il
> principio di Bernoulli che si ricava dalla conservazione dell'energia
> o dalle equazioni della dinamica di Newton. Quando l'acqua accelera
> c'è un gradiente di pressione che la fa accelerare.
Ma il problema di Massimiliano secondo me è un altro. Vediamo.
Cominciamo dai fatti.
Abbiamo un liquido in flusso stazionario in un tubo che presenta
variazioni di sezione.
"Stazionario" significa che in ogni punto la velocità non dipende dal
tempo, mentre può variare da punto a punto.
Come ho già detto, occorre un liquido, in cui la densità è pressoché
indip. dalla pressione.
Questo è grossolanamente falso per i gas e infatti la relazione tra
velocità e sezione per i gas non vale.
I fatti che si possono osservare (misurare) sono due:
- La velocità del liquido cambia con la sezione del tubo: più
esattamente è inversamente prop. alla sezione.
- La pressione del liquido cambia con la sezione: c'è una relazione
più complicata tra sezione e pressione, di cui non do ora la forma
quantitativa, ma è del tipo (minore sezione) <=> (minore pressione).
Volendo possiamo anche descriverla come una relazione tra velocità e
pressione, del tipo (maggiore velocità) <=> (minore pressione).
Come ho detto, questi sono *fatti*.
Un fisico di fronte a dei fatti di natura cerca dei collegamenti, che
possono essere di tipo causale (A è causa di B) oppure avere la forma
di *leggi di natura*: A e B si presentano insieme perché esiste la
legge C.
E' molto facile confondere i due approcci, che ovviamente non sono
affatto equivalenti.
Le relazioni causali sono molto difficili da definire e a volte
perfino da formulare, per cui il fisico non le ama molto: preferisce
il secondo approccio.
Invece le domande di Massimiliano stanno sempre nella dimensione
causale, come è dimostrato dal continuo uso della congiunzione
"perché".
Mi si potrebbe obiettare che anch'io sopra ho usato il "perché"
("perché esiste la legge C).
Ma questo non è un perché causale: enuncia solo una dipendenza
*logica*: se tu accetti la legge C, non puoi evitare tutte le sue
implicazioni.
Questo soddisfa il fisico, perché (questo che "perché" è? :-) ) gli
fornisce un *legame*: fatti che all'inizio erano puramente osservati,
ora sono ricondotti sotto uno schema logico comune; una *teoria*, per
usare un parolone.
Torno al problema concreto.
La connessione tra i due fatti di cui sopra sta in un teorema della
dinamica dei fluidi: il teorema di Bernoulli.
Per brevità evito di dare le precise ipotesi del teorema, e tanto meno
la dimostrazione.
L'enunciato per il nostro caso è:
"Se S1 e S2 sono due sezioni qualsiasi del tubo e v1, v2 le rispettive
velocità del liquido (già sappiamo che v1*S1 = v2*S2) allora
p1 + rho*v1^2/2 = p2 + rho*v2^2/2.
(Di conseguenza se S1>S2, sarà v1<v2, quindi p1>p2.)
Con questo ho intanto chiarito che non ci sono due punti di vista
equivalenti: la proporz. inversa tra velocità e sezione è una semplice
conseguenza cinematica dell'incomprimibilità del liquido.
Invece la variazione di pressione fa intervenire le leggi della
dinamica, dalle quali si deduce il teorema di Bernoulli.
Ma insisto: il t. di Bernoulli mi dice che se osservo una diff. di
velocità tra due punti del tubo, deve anche esserci una diff. di
pressione, ma non mi dice affatto *chi sia causa di chi*.
Tuttavia Massimiliamo potrebbe insistere: va bene, ma supponiamo che
inizialmente l'acqua sia ferma. Supponiamo anche che venga tenuta
ferma e a una certa pressione per mezzo di due pistoni agli estremi,
ai quali applichiamo la stessa forza (in versi opposti).
La pressione è la stessa dappertutto (principio di Pascal).
Come mai se inizio a spingere l'acqua, per es. da sinistra, trovo che
nella strozzatura la pressione diminuisce?
> E perché aumenta 'sta differenza di pressione?
Se non ci fosse la strozzatura, il discorso sarebbe semplice. (?)
Per spingere l'acqua il signor A che spinge a sinistra deve aumentare
la forza, mentre il sigor B a destra può tenere invariata la sua.
Ma così facendo la risultante delle forze non è più nulla, e l'acqua
acquista (F=ma) una velocità verso destra, che cresce nel tempo finché
A continua ad applicare una forza maggiore.
Appena A torna alla forza originaria l'accel. cessa, e l'acqua si
muove *tutta insieme* di moto uniforme.
(Non l'avevo detto, ma sto supponendo che la viscosità sia
trascurabile; di conseguenza le forze che le pareti del tubo
esercitano sull'acqua sono perpend. alla velocità e non hanno effetto
sul moto.)
Che posso dire della pressione?
Qui bisogna andare più nel fino, esaminando il moto di una "fetta" di
liquido.
Alla fetta sono applicate due forze opposte sulle due facce, e se il
moto è accelerato vuol dire che queste forze non si cancellano: quella
sulla faccia di sinistra è maggiore.
Ma forza maggiore significa pressione maggiore; dato che questo accade
per ciascuna fetta, abbiamo che lungo tutto il tubo c'è un *gradiente
di pressione*. Infatti all'estremo A la pressione è F_A/S, mentre
all'estremo B è F_B/S, che è minore.
Questo gradiente si annulla quando A torna alla forza iniziale.
Tuttavia mi metto nei panni di Massimiliano, e non sono soddisfatto.
Qui abbiamo usato F=ma all'inverso: se c'è un'accelerazione, deve
esserci una forza. Se c'è forza risultante su ogni fetta, deve esserci
un gradiente di pressione.
Ma per quale magia nel liquido si stabilisce proprio il gradiente di
pressione necessario per avere accel. uniforme?
La risposta è che non c'è nessuna magia, o -se preferite - la parola
magica è "transitorio".
Nel gergo dell'elettronica, ma anche in tutta la fisica, si parla di
transitorio quando si produce una situazione non di equilibrio che
evolve nel tempo fino a raggiungere uno stato finale di equilibrio.
Ed è quello che capita qui quando A comincia ad aumentare la forza.
Potrà farlo tutto d'un colpo oppure lentamente; il transitorio avrà
carattere diverso ma porterà sempre alla stessa situazione di
equilibrio, con tutto il liquido che accelera con la stessa
accelerazione.
Una cosa va detta però: non si può raggiungere il nuovo equilibrio se
non ci sono effetti dissipativi. In un liquido ideale (senza
viscosità) s'innescherebbero delle onde che non si smorzerebbero mai.
Che cosa cambia con la strozzatura? Diverse cose, e non è possibile
qui stare a seguire da vicino quello che succede (del resto non so
neppure se ne sarei capace :-)
Il punto essenziale è che anche in questo caso si passa da una
equilibrio a un altro attraverso un transitorio.
--
Elio Fabri
Received on Thu Aug 18 2022 - 16:57:54 CEST