Re: Brachistocrona

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/11/14

Valter Moretti wrote:
>
> CCCP ha scritto:
> >
> > Ho gia postato su it.scienza.matematica, senza risposta:
> >
> > Il calcolo della traiettoria piu' breve nel tempo tra i punti 1 e 2 nel
> > campo gravitazionale (supposto lineare), si riduce ad un problema
> > variazionale, sulla minimizzazione dell'integrale:
> >
> > 2
> > S sqrt((1+vy^2)/(2gy)) dx
> > 1
> >
> > g
>
> Ciao, appena ho tempo ti dico come procedere.
> Valter


  Ti posso dare qualche suggerimento, ma non ho tempo per fare i
  conti. Considera il funzionale "tempo necessario a percorrere la
  curva" per le curve ad estremi geometrici fissati: il primo di
  coordinate (0,h) ed il secondo (b,0) h,b >0 in coordinate cartesiane
  ortonormali con y verticale ascendente.

  Usando la conservazione dell'energia meccanica tenendo conto che il
  corpo cade lungo la guida partendo da fermo, tale funzionale e' dato
  dall'integrale in dx da x=0 a x= b di

   L(y(x),y'(x)) = C sqrt[(1+ y'(x)^2)/(h-y(x))]
  
  dove la costante C e' data da 1/[2 sqrt(g)] essendo g
  l'accelerazione di gravita'
  Per il nostro calcolo possiamo porre C=1 tanto e' irrilevante.
 
  Si tratta dunque di trovare il "punto" di massimo di un funzionale
  ad estremi fissati. Se esisiste tale funzione massimante allora e'
  estremante e annulla la derivata funzionale del funzionale
  (dimostrare che e' massimante e' ben piu' difficile).

  Nota che il prolema e' matematicamente equivalente a determinare
  le equazioni del moto di un punto in moto su una retta quando
  x e' il tempo e y(x) e' la posizione del punto sulla retta, e la
  lagrangiana e' L(y(x),y'(x)), con il vincolo che la soluzione
  deve soddisfare y(0)=h, y(b)=0.

  Dato che la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo x,
  c'e' l'integrale primo di Jacobi (cioe' l'energia meccanica
  del problema fittizzio che stiamo considerando), che equivale
  all'equazione del moto stesso essendo il problema unidimensionale.

  H = (_at_L/_at_y')y' - L (1)

  La *costante* H la determini dalle condizione al contorno

  L'equazione (1) con H costante generica la integri facilmente,
  quindi determini H come detto. Ti lasci l'onere dei conti
  e la prova che la soluzione e' davvero una cicloide.
  
  Ciao, Valter
Received on Tue Nov 14 2000 - 00:00:00 CET