Re: Curvatura dello spazio-tempo

From: Menegatti Vittore <dossogallina_at_libero.it>
Date: 2000/11/08

Massimo S. <smassimo_at_mail.com> wrote in message
3A06BF2E.9071274A_at_mail.com...
> Secondo la RG la massa curva lo spazio-tempo.
> Di solito si fa l'esempio del tappeto elastico, se ci metto una
> sfera sopra questo si incurva ecc...
> Per� il tappeto � una superficie bidimensionale che si incurva
> nella terza dimensione.
> Nella RG cosa accade? Lo spazio 3d si incurva nella dim. del tempo?
> Oppure lo spazio-tempo 4d si incurva, ma in quale dimensione?

Non sono un fisico, ma questo argomento � stato ampiamente discusso
tempo fa e ho scaricato i punti per me pi� salienti che lo riguardavano.
Ti risponder� con dei post di interlocutori pi� ferrati di me.


-dumbo <_cmass_at_tin.it> wrote in message
01bff50c$99094f00$2d95d8d4_at_default...
->
-> > >2) quando si parla di "spazio curvo", sia in fisica
-> > >che in matematica, si intende dire che in quello
-> > >spazio non vale la geometria euclidea, non si vuole
-> > >affatto dire che lo spazio � immerso in un iperspazio
-> > >a quattro o pi� dimensioni. Su questa possibile
-> > >" immersione " la cosmologia relativistica non ha
-> > >niente da dire, non se ne occupa, e si sviluppa
-> > >senza difficolt�, come un tutto organico e auto-
-> > >consistente, senza bisogno di fare un' ipotesi
-> > >del genere.
-
-cut...
-> B�, in effetti lo spazio tridimensionale pu� davvero essere
-> infinito: in geometria questo � possibile senza alcuna
-> contraddizione logica (spazio di Riemann a curvatura nulla,
-> cio� normale spazio di Euclide; e spazio di Riemann a
-> curvatura negativa, o spazio di Boylai e Lobaceski -- non
-> garantisco la grafia); per quanto riguarda lo spazio fisico
-> reale, non sappiamo se � infinito o no. Potrebbe.
->
-
-cut...
-> Si pu� benissimo proiettare una superficie curva
-> su un piano euclideo, purch� i campioni di lunghezza
-> non siano rigidi. La geometria "gommosa" che ottieni
-> � in tutto e per tutto una geometria non euclidea (cio�
-> equivalente alla geometria che vale sulla superficie
-> curva) anche se adesso non c'� niente che si curva
-> nella terza dimensione.
-> Mi spiego meglio:
-> considera una normalissima sfera a tre dimensioni (un
-> pallone da calcio); la sua superficie � un continuo 2d non
-> euclideo; infatti un automobilista piatto che ci viaggia
-> sopra andando "sempre dritto" (nel senso che non gira mai
-> il volante) si ritrova prima o poi al punto di partenza, cosa
-inconcepibile
-> su una superficie euclidea dove chi va sempre dritto non torna pi�.
-> Questo "non girare mai il volante" significa "seguire una linea
geodetica"
-> Infatti una geodetica pu� essere definita come "linea che conserva
-> sempre la stessa direzione" (per chi vive sulla superficie, non per
-> chi � fuori ! ) e si pu� dimostrare che questa definizione
-> � del tutto equivalente all'altra (pi� famosa) "linea pi� breve tra due
-> punti" (preciso per evitare gli anatemi dei matematici:
-> in realt� � un estremale ma siccome parlo di una superficie
-> con (ds)^2 definito positivo l'estremale � anche minimo).
--> Siccome la geodetica sulla superficie sferica � l'analogo
-> della retta sul piano euclideo, posso tracciare con
-> archi di geodetica delle figure che sono del tutto analoghe
-> alle figure che sul piano euclideo si disegnano con segmenti di retta
-> (la retta � la geodetica del piano).Vedo allora che alcuni teoremi
-> euclidei non valgono pi�: per esempio la somma degli angoli interni
-> di un triangolo (disegnato sulla sfera) � maggiore di 180�,
-> per provarlo, prendi due punti A e B qualsiasi sull'equatore: l'arco
-> AB di equatore che li unisce � una geodetica; congiungi il primo di
questi
-> punti col polo nord C, usando un arco AC di cerchio massimo passante per
-> il polo nord; anche AC � una geodetica; e poi f� lo stesso con B, e
avrai
-> la terza geodetica AC; le tre geodetiche AB, AC e BC formano un
triangolo
-> sferico di vertici A, B, C. La somma degli angoli interni di questo
-> triangolo sar� maggiore di 180� , perch� i due angoli alla base
-> (angolo in A e angolo in B) sono entrambi di 90�, e l'angolo in C � non
--> nullo;
-> La quantit� che eccede 180� si chiama eccesso sferico ed � in generale
-> funzione dell'area del triangolo; ma � comunque sempre un eccesso,
-> e da qui si usa dire che la curvatura della superficie sferica
-> � positiva.
-> Puoi costruire tutte le figure che vuoi e collegarle con varie relazioni
-> metriche, troverai che moltissime di queste relazioni non sono quelle
-> euclidee:
-> la somma degli angoli � un esempio, ce ne sono altri:
-> se, sulla sfera, disegni una circonferenza, definita
-> (come al solito) come luogo dei punti equidistanti
-> da un punto fisso detto centro, e chiami diametro il doppio
-> di questa distanza, trovi che il rapporto circ/diam � minore
-> di pigreco. E non � neanche costante, ma dipende dalla
-> lunghezza del raggio del cerchio, in rapporto al raggio
-> della sfera. Esempio: l'equatore � un esempio di circonferenza sferica,
-> con centro nel polo. La lunghezza della circonferenza � 2 pigreco R
-> dove R � il raggio della sfera, e la lunghezza del diametro � pigreco R
-> (cio� due volte la distanza tra equatore e polo); il rapporto
-circ/diametro
-> � quindi = 2, cio� minore di pigreco. OK ?
->
-> Ora considera una persona bidimensionale (un'ombra intelligente)
-> costretta a vivere appiattita sulla superficie sferica senza avere la
-> minima capacit� di "vedere" intuitivamente la terza dimensione in
-> cui la superficie, che � tutto il suo habitat, si trova immersa.
-> Pu� questa ombra (con strumenti di misura appartenenti al suo
-> mondo, cio� con regoli-ombra rigidi) capire che la superficie su cui
-> vive � non euclidea? E pu� capirlo con misure intrinseche al suo
-> mondo, senza mai dare una sbirciatina "dal di fuori" ?
-> Assolutamente s�. Basta che disegni un triangolo (dove per lei
-> triangolo significa, come ti ho detto sopra, area racchiusa da tre
-> geodetiche che si intersecano) e misuri la somma degli angoli interni:
-> trover� un eccesso, e capir� che il suo mondo � una superficie a
-> curvatura positiva; oppure, se vuole, pu� tracciare una circonferenza,
-> misurarla e misurare anche il diametro, poi calcolarne il rapporto;
-> dal valore minore di pigreco capir� la sua situazione. Come vedi con
-> osservazioni e misure totalmente interne alla superficie pu� arrivare
-> benissimo a capire di vivere in un mondo non euclideo.
-> (e lo stesso vale per uno spazio: per vedere se il nostro spazio �
-> euclideo o no, basta tracciare delle geodetiche o delle circonferenze
-> e vedere se le relazioni metriche sono o no quelle previste
-> dalla geometria spaziale euclidea; non c'� alcun bisogno di
-> uscire dall'universo e osservarlo dal di fuori, guardando se per
-> caso si curva in un iperspazio).
-> OK ?
-> Sono un p� prolisso ma oggi mi viene cos�, porta pazienza.
-> Se sei stanco di parole e vuoi delle lucide e concise formule,
-> leggi quello che ti scrivo adesso; se no salta tutto e arriva
-> fino al segno XXXXX che trovi parecchie righe pi� sotto, e
-> ricomincia da l�.
->
-> Considera una normale sfera nel normale spazio euclideo
-> a tre dimensioni, con terna di assi cartesiani x,y,z;
-> l'equazione della superficie della sfera riferita a
-> questa terna � evidentemente
->
-> x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = R ^ 2 ( 1 )
->
-> dove R � il raggio della sfera.
->
-> Adesso considera la superficie bidimensionale della sfera;
-> prendi due punti A e B sulla superficie, e prendili molto vicini,
-> a una distanza infinitesima ds, il cui quadrato � (ds)^2; la
-> differenza (infinitesima) tra la coordinatra x di A e la coordinata x
-> di B (mi servo sempre della terna cartesiana prima
-> introdotta) sar� dx, e (dx) ^ 2 il suo quadrato; e analogamente
-> sar� (dy) ^ 2 il quadrato della differenza infinitesima tra la
-> coordinata y di A e la coordinata y di B, sempre con riferimento
-> alla terna dello spazio tridimensionale esterno in cui la
-> superficie curva � immersa. E infine sar� (dz)^2 il quadrato
-> ecc ecc.
-> Ovviamente la distanza (al quadrato) infinitesima tra A e B
-> riferita alla terna x,y,z sar� data dal teorema di Pitagora nello
-> spazio euclideo
->
->
-> (ds) ^ 2 = (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + (dz) ^ 2
- ( 2 )
->
->
-> Adesso torniamo alla ( 1 ); differenziamola (ricordando
-> che R = costante e quindi dR = 0 ) e otteniamo
>
>
-> x dx + y dy + z dz = 0 ( 3 )
->
->
-> da questa si ricava dz,
->
->
-> dz = -- ( x dx + y dy) / z ( 4 )
->
->
-> che introdotta nella ( 2 ) d�
->
->
-> (ds) ^ 2 = ( dx ) ^ 2 + ( dy ) ^ 2 +
->
-> + ( 1 / z ^ 2 ) ( x dx + y dy) ^ 2 ( 5 )
->
->
->
-> Ma la ( 1 ) dice che
->
->
-> z ^ 2 = R ^ 2 -- x ^ 2 -- y ^ 2 ( 6 )
->
->
-> Introducendo la ( 6 ) nella ( 5 ) si ha finalmente
->
->
-> (ds) ^ 2 = (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 +
->
-> + [ ( x dx + y dy) ^ 2 ] / (R^2 -- x^2 -- y^2) ( 7 )
->
->
-> Osserva: la ( 7 ) � un'espressone che d� il quadrato della distanza
-> tra due punti della superficie in funzione di due sole coordinate, x e y,
-> e di una costante R caratteristica della superficie: non siamo obbligati
-> a vedere R a tutti i costi come il raggio della sfera tridimensionale
cui
-> appartiene la superficie in esame, si tratta semplicemente di una
-> costante che appare in una formula ( la ( 7 ) ) che d� la distanza
-> tra due punti su una superficie, in funzione di due coordinate x e y:
-> in altre parole la ( 7 ) esprime la geometria della superficie sferica
-> in forma intrinseca, cio� senza alcun riferimnento alla variet�
-> tridimensionale esterna in cui la superficie � immersa.
-> Infatti come vedi la terza dimensione, cio� z, � sparita, ci siamo
-> serviti di lei come di una scala per arrivare al risultato finale ( 7 ),
-> poi abbiamo buttato via la scala. La z non c'� pi�. Solo x e y, e
-> una costante R. Quest'ultima caratterizza la deviazione della geometria
-> della superficie in esame dalla geometria del piano euclideo.
-> Se R � infinita, ottieni la geometria euclidea perch� la (7) si riduce
-> al solito teorema di Pitagora valido sul piano, cio�
-> (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2.
-> E se vogliamo rappresentare uno spazio a tre dimensioni non
-> euclideo (e curvatura positiva) ? Basta generalizzare la ( 7 )
-> aggiungendo la terza dimensione z, e abbiamo:
->
->
-> (ds) ^ 2 = (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + (dz) ^ 2 +
->
-> + [ (x dx + y dy + z dz) ^ 2 ] / ( R^2 - x^2 - y^2 - z^2 ) ( 8 )
->
->
-> dove non compare nessuna quarta dimensione di nessun
-> iperspazio "contenitore", ma solo le tre coordinate x, y,z dello
-> spazio tridimensionale, e una costante R che
-> caratterizza la deviazione della geometria di tale spazio
-> dalla geometria dello spazio ordinario (euclideo).
->
-> Conclusione: come vedi si pu� studiare uno spazio non euclideo
-> (quello che sbrigativamente, ma scorrettamente, si chiama
-> spazio curvo: ormai il termine � entrato nell'uso) senza bisogno di
-> riferirlo a un iperspazio contenitore; la sua "curvatura" (meglio:
-> la sua non-euclideit�) � una propriet� intrinseca, esprimibile
-> completamente tramite una metrica ( il (ds)^2 ) tridimensionale,
-> senza riferimenti a iperspazi con numero di dimensioni > 3.
-> I quali, ripeto, possono esistere o non esistere, ma anche se
-> esistono possono essere tranquillamente ignorati, ed � quello
-> che normalmente si fa.
-> E aggiungo per completezza: se vuoi avere uno spazio curvo
-> in espansione, basta considerare R una funzione del tempo.
->
>
> --XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx
->
-> Torno ora alle tue domande:
->
-> >Perche', il mio problema come avrai capito e' il seguente: dato che se
-> > vedo una superficie sferica 2d la vedo occupare la terza dimensione
-> > spaziale, come posso immaginare una superficie sferica 3d che non
-> > occupa un'altra dimensione?
-->
-> Insomma tu dici: " ho dei problemi di visualizzazione " .
-> Certo, nessuno potr� mai immaginare uno spazio tridimensionale
-> che si curva in un iperspazio con pi� di tre dimensioni. Il cervello
-> che abbiamo � tridimensionale e le sue capacit� intuitive non superano
-> certi limiti. Per� non c'� alcun bisogno di immaginare l'iperspazio,
-> proprio come non c'� alcun bisogno di introdurlo nelle formule.
-> Anche per il problema della visualizzazione, si pu� fare tutto restando
-> nell'ambito di tre dimensioni. Te lo faccio vedere tornando al
-> caso della superficie non euclidea bidimensionale.
-> Sappiamo che la superficie a curvatura positiva della sfera � tale,
-> che i "triangoli" hanno un eccesso angolare, e che il rapporto
-> circ/diam di un cerchio � minore di pigreco. Bene, le stesse
-> deviazioni dalla geometria euclidea si possono ottenere anche
-> restando su un piano, senza alcun bisogno di fare disegni
--> su una superficie sferica! E' sufficiente che gli strumenti con cui
-> misuri le cose si deformino in modo opportuno.
-> Prima ho parlato dell'ombra intelligente che vive sulla superficie
-> della sfera; adesso immagina che l'ombra sia trasferita (senza che
-> se ne accorga, la trasportiamo mentre dorme) su un piano euclideo.
-> Le togliamo di mano per� gli strumenti rigidi (regoli campione)
-> che aveva mentre abitava sulla sfera, e al loro posto (sempre senza
-> dirle niente) mettiamo degli strumenti che si deformano in questo
-> modo: man mano che si allontanano dal punto dove si trova l'ombra
-> che dorme, chiamiamo O quel punto, i regoli di misura diventano
-> pi� lunghi, secondo la legge L(d) = L(0) ( 1 + K d^2) dove L(d) � la
-> lunghezza del regolo campione a distanza d da O; in O la lunghezza
-> � L(0); K � una costante positiva. Questo allungamento lo vediamo
> noi, che dominiamo la situazione dall'alto e mettiamo a confronto
-> i regoli "elastici" dell'ombra coi nostri, presi come rigidi. L'ombra
-> invece non se ne pu� accorgere, perch� spostandosi da O a un
-> altro punto A, dove (per noi) il suo metro � diventato un chilometro,
-> lei lo vedr� sempre lungo un metro, perch� anche il suo corpo si �
> dilatato nello stesso modo, e ogni altro corpo di riferimento ha
--> subito la stessa variazione. Insomma, la legge di dilatazione
-> � veramente generale per le cose che abitano quel mondo
> bidimensionale, cosicch� ce ne possiamo accorgere noi che
> non viviamo in quel mondo e lo vediamo dal di fuori, ma non se
-> ne pu� accorgere lei che � prigioniera della superficie e soggetta
-> come tutte le cose l� sopra alla dilatazione: dal suo punto
-> di vista, non c'� niente che si dilati, tutto � rigido, perch� non c'�
-> nel suo mondo nessun corpo che, sfuggendo alla dilatazione
..-> generale, possa servirle da indicatore della dilatazione degli.
-> altri corpi.
->- Ora, supponiamo (l'abbiamo svegliata, e lei � convinta di
-> essere ancora sulla sfera) che si metta a tracciare cerchi e triangoli,
-> e a fare misure di angoli e di rapporti circ / diam. Trover�
-> somme di angoli interni > 180� e rapporti < pigreco, proprio
-> come quando era sulla sfera, e potr� dire in tutto e per tutto
-> di vivere in un mondo non euclideo. Non si accorger� mai del
-> cambiamento perch� non c'� nessuna differenza tra la geometria
-> di una superficie curva esplorata con regoli rigidi e la geometria
-> di una superficie piana esplorata con regoli deformabili.
-> Con la legge di dilatazione che ti ho scritto sopra, la geometria
-> sulla superficie sferica e la geometria sul piano sono identiche.
-> (c'� solo qualche problema con i punti all'infinito, ma lasciamo
-> perdere).
-> Che non ci sia differenza si vede bene da questo:
-> immagina di vedere l'ombra (la vedi dall'alto della terza
-> dimensione, mentre lei striscia appiattita sul tavolo)
-> che traccia una circonferenza: � una circonferenza sia per
-> lei che per te, perch� � il luogo dei punti equidistanti da
-> un punto (il centro O) e su questo fatto sia tu che lei
-> concordate. Noi misuriamo la circonferenza e il diametro
-> coi nostri regoli rigidi, facciamo il rapporto e troviamo
-> pigreco: ovvio, dato che il cerchio � su un piano.
-> Poi stiamo a osservare lei, mentre fa le sue misure.
-> Noi, il suo processo di misura lo vediamo in
-> questo modo: mentre appoggia il suo regolo lungo
-> la circonferenza, il regolo ha sempre la stessa
-> lunghezza (perch� sempre alla stessa distanza da O);
-> mentre lo appoggia lungo il diametro, il regolo si accorcia
-> avvicinandosi a O (perch� la regola �: dilatazione al
-> crescere della distanza da O) e quindi per coprire il
-> diametro dovr� appoggiare il regolo moltissime volte
-> (perch�, appunto, diventa sempre pi� corto in prossi-
-> mit� del centro). Adesso telefoniamo all'ombra e le
-> diciamo: "ehi, ti abbiamo vista misurare il cerchio,
-> che risultato hai ottenuto ? "
-> Lei dir�: " il rapporto circ/diam � minore di pigreco"
-> E noi: "come lo spieghi? "
-> E lei: " Cosa c'� da spiegare? E' sempre stato cos�,
-> sono sempre vissuta su una sfera, perch� vi
-> meravigliate? "
-> E noi: " ma guarda che sei su un piano"
-> E lei "impossibile, sul piano avrei ottenuto pigreco"
-> E noi: " solo se avessi usato un regolo rigido;
-> invece hai usato un regolo che si dilata allontanandosi
-> da O; quindi avvicinandoti ad O il tuo regolo si
-> accorciava e per coprire il diametro hai dovuto
--> appoggiarlo moltissime volte, tante che alla fine
-> il rapporto circ/diam ti � risultato minore di pigreco."
-> E lei " che dite mai? Il mio regolo era rigido!"
-> E noi: " lascia parlare noi che vediamo bene le
-> cose dall'alto; non � rigido e non lo sei neanche
-> tu e nessuna delle cose che strisciano sul tuo
-> mondo piatto; ecco perch� non te ne puoi accorgere:
-> non hai un campione di riferimento veramente rigido
-> che mostri la mancanza di rigidit� degli altri".
-> A questo punto dovr� crederci sulla parola, perch�
-> secondo le sue misure la geometria della sua superficie
-> � decisamente sferica, nonostante non si curvi da nessuna
-> parte, nonostante sia su un piano!
-> A questo punto spero di aver risposto (bench�
-> in modo prolisso) alla tua domanda,
-> che riscrivo qui:
-> Salute,
-> Corrado Massa



Ti consiglio inoltre di leggerti anche queste utili precisazioni
di E. Fabbri, perch� la spiegazione di Corrado potrebbe essere soggetta
a fraintendimenti.( Tra l'altro l'argomento era stato richiesto da F. Span�
che vedo ti ha gi� succintamente risposto).

Elio Fabri <fabri_at_df.unipi.it> wrote in message
398FBFF5.774B71EC_at_df.unipi.it...
>
> Fedrico Spano' ha scritto:
> > Mi pare chiaro che 'curvo' e 'non euclideo' non sono sinonimi; solo che
> > hanno la stessa geometria;
cut....

> Mi dispiace per te, ma la terminologia matematica corrente e' "curvo"
> molto piu' che "non euclideo", cosi' come al contrario si dice "piatto"
> per intendere euclideo (e non solo, perche' anche lo spazio-tempo di
> Minkowski e' piatto, ma non e' proprio euclideo...).
>
> Il tuo equivoco era a due facce, secondo me:
> 1) Confondevi tra "intrinsecamente curvo" ed "estrinsecamente curvo".
> La superficie di una sfera e' intr. curva, perche' non vale la geom.
> euclidea, e non e' possibile rappresentarne un porzione sul piano
> euclideo senza deformazioni (in modo "isometrico", dicono i matematici).
> La superficie di un cilindro in questo senso non e' curva.
> Viceversa, se viste come superfici immerse in uno spazio tridimensionale
> euclideo, sono entrambe curve (estrinsecamente).
> Ora hai imparato, grazie a Corrado, che uno spazio intrins. curvo puo'
> sempre essere visto, in senso matematico, come immerso in uno spazio
> euclideo con piu' dimensioni. Ma questo e' solo matematica.
> 2) L'altro equivoco, piu' profondo, era di tipo direi quasi
> "ontologico": ti ponevi il problema se queste dimensioni in piu'
> *esistano realmente*.
> La risposta e' no, almeno per quanto ne sappiamo. Lo spazio e'
> tridimensionale e basta, lo spazio-tempo quadridimensionale; non c'e'
> altro fuori.
> --
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
> Sez. Astronomia e Astrofisica

Per me questi post sono stati illuminanti,
spero anche per te.
Ciao
Giorgio

..
Received on Wed Nov 08 2000 - 00:00:00 CET