Re: Varieta' differenziabili e spazi topologici

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/10/06

ele wrote:
>
> pensa che non ne ho quasi idea io che devo farci un esame tra 20
> giorni...
>
> "Stefano Fedele" <s.fedele_at_libero.it> ha scritto nel messaggio
> news:39DA2DF9.B4F02AE9_at_libero.it...
> > Qualcuno potrebbe spiegare ad un povero studente di analisi II Cosa
> sono
> > queste follie matematiche? mi fareste un grande piacere.
> >
> > --
> > Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi
>
> --
> Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi



Allora, uno spazio topologico e'una coppia (X,T)
dove X e T e' una classe di sottoinsiemi di X detta topologia su X.
T deve soddisfare le seguenti proprieta'
1) T deve contenere l'insieme vuoto e X stesso;
2) se A e B sono in X allora anche l'intersezione di A e B deve essere in T;
3) l'unione di una quantita' arbitraria di elementi di T deve essere un elemento
di T.

Gli elementi di T si dicono (insiemi) aperti. Se x e' in X, ogni aperto
che contiene x e' detto intorno di x. (C'e' un'altra definizione di
intorni inequivalente, ma non entro nei dettagli ora).

Esempio banale
e di topologia: prendi R^n e considera le sfere aperte piene di raggi
arbitrari. Considera poi la classe T di sottoinsiemi di R^n data dall'insieme
vuoto e da tutti gli insiemi che sono unione di sfere del tipo detto.
(R^n, T) e' uno spazio topologico.

Se (X,T) e (X',Y') e' uno spazio topologico, allora una funzione
f : X->Y e' detta essere continua se e solo se la controimmagine
di ogni aperto di X' e' un aperto di X.

Si verifica subito che f e' continua se e solo se, per ogni x in X,
la controimmagine di un intorno di f(x) e' un intorno di x. Da cui
nel caso di (R^n,T) si vede che la definizione di continuita' di
f da R^n in R^p equivale a quella data con epsilon e delta...

Ovviamente questi sono i primissimi rudimenti di topologia che
poi diventa una branca della matematica enorme...

Il concetto di varieta' necessita di quello di topologia.
L'idea e' la seguente, prendi una sfera (superficie) e cerca di
metterci sopra un sistema di coordinate definito ovunque: e'
impossibile, ci sono sempre dei problemi, alcuni punti sulla
sfera (per esempio in coordinate polari sferiche i poli) non sono in
corrispondenza biunivoca con coppie di numeri... Si conclude che
sulla sfera ci vogliono *almeno* due sistemi di coordinate
per poterla descrivere adeguatamente.

L'idea di varieta' e' quella di un insieme di punti su cui ci sono
vari sistemi di coordinate che costruiscono corrispondenze
biunivoche tra i punti di sottoinsiemi della varieta' e di R^n.


Lo spaziotempo della relativita' e' una varieta' (dotata di metrica).
Lo spazio(-tempo) delle fasi di un sistema di Hamilton e' una varieta'...
gli esempi sono infiniti... Sulle varieta' ci vivono i campi tensoriali
a spinoriali e con quelli si fa tanta bella fisica...


Tecnicamente devi avere un insieme M dotato della struttura
di spazio topologico di Hausdorff a base numerabile localmente
omeomorfo ad un R^n. E questa e' una *varieta' topologica*.

SPIEGAZIONI.

Uno spazio topologico e' di Hausdorff se e solo se per ogni
coppia di punti p e q esistono due intorni uno di p e l'altro
di q, che siano disgiunti.
"Base numerabile" significa che esiste una sottoclasse numerabile
della topologia con cui costruire tutti gli aperti della topologia.

Il fatto che M sia localmente omeomorfa a R^n, significa che
per ogni p in M esiste un intorno di p ed una funzione da tale
intorno in un intorno in R^n (dotato della topologia di cui sopra)
che sia continua, biettiva e con inversa continua.

L'ultima richiesta dice che localmente M e' "come" R^n,
almeno per la continuita'.
Il perche' delle prime due richieste e' un po' complicato (servono
almeno a costruire una "partizione dell'unita'" e serve a fare
il calcolo integrale sulla varieta', ma e' veramente complicato
spiegarlo qui)

Una carta locale sulla varieta' topologica M e' un'applicazione
f da un aperto A(f) di M, detto dominio di f, in un aperto di R^n
che sia almeno continua con inversa continua. Un atlante
differenziabile ordine k>0 (intero) e' un insieme massimale
di carte locali i cui domini ricoprono tutta M e tale che,
nell'intersezione di due domini A e B, se f e g sono le
funzioni a valori in intorni di R^n corrispondenti, la funzione
g composta f^-1 e' differenziabile di ordine k.

Ogni carta locale costruisce quindi un sistema di coordinate
su M e dove sue sistemi di coordinate si sovrappongono
si passa dalle prime alle seconde con una trasformazione di
coordinate differenziabile fino all'ordine k.

Una varieta' *differenziabile di ordine k* e' una varieta'
topologica dotata di un atlante differenziabile di ordine k.


Vabbe' e' fin troppo, mi pare, spero di avervi detto
qualcosa di utile...

Ciao, Valter
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Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi
Received on Fri Oct 06 2000 - 00:00:00 CEST

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