Stefano Fedele <s.fedele_at_libero.it> wrote in message
39DA280E.6DE1D9F4_at_libero.it...
> Salve gente, ho un quesito da porvi, xche' esistono i numeri complessi?
> Io ho notato che con questi si possono risolvere alcune equazioni
> differenziali di Eulero che altrimenti non si potrebbero risolvere, ma
> proprio non riesco a capire cosa sia realmente un numero complesso.
> Ringrazio chiunque abbia la pazienza di rispondermi.
>
>
> --
> Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi
Preambolo:
Che cosa sono i numeri reali? Essenzialmente un insieme che gode di tante
belle propriet�. E' un insieme su cui si riesce a definire un'operazione
SOMMA per cui valgano le propriet� associativa (AS), esistenza dell'elemento
neutro "0" (EN), esistenza dell'inverso (IN), commutativa (CO) e
un'operazione PRODOTTO per cui valga AS, EN =1, IN per tutti i numeri
diversi dall'elemento neutro della SOMMA, CO; vale inoltre tra le due
operazioni la propriet� distributiva (DI). Ci sono anche altre belle
propriet� quali l'ordine e la completezza, ma per ora tralasciamole.
Problema:
Ora voglio considerare un altro insieme, il prodotto cartesiano RxR, ossia
l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali; chiamiamo questo insieme X.
Per ora su X non � definita alcuna propriet�; mi chiedo se sia possibile
definire su X una "SOMMA" e un "PRODOTTO" che godano delle stesse propriet�
di quelle di R.
Soluzione:
La definizione di somma � la pi� intuitiva: se indichiamo con (a1,b1) e
(a2,b2) due generici elementi di X, definiamo
(a1,b1)+(a2,b2):=(a1+a2,b1+b2). Si verifica che questa rispetta le quattro
propriet� sopra elencate, e (0,0) ne � l'EN. Verrebbe voglia di definire il
prodotto (a1,a2)*(b1,b2):= (a1*a2,b1*b2), e come EN porre dunque (1,1).
Purtroppo queste definizioni non soddisfano le propriet�, ad esempio
l'elemento (37,0) non ha inverso. Come fare? Beh, se definiamo
(a1,a2)*(b1,b2):= (a1*b1-a2*b2, a1*b2+b1*a2), con EN=(1,0), si scopre che
tale definizione � buona.
Ma che definizione artificiosa! E poi che c'entra tutto ci� con i numeri
complessi?
Abusiamo della notazione introdotta, ossia l'elemento (1,0) lo chiamiamo "1"
mentre chiamiamo "i" l'elemento (0,1). Cos� ogni elemento (x,y) di X si pu�
scrivere come (x,y)= 1*x+i*y, in breve come x+iy. Applicando la definizione
data sopra si vede che i*i=(-1,0)=-1. In altre parole per eseguire le
operazioni tra elementi di X basta usare le elementari regole algebriche,
ricordando che i*i=-1. In una parola il nostro X non � altro che C,
l'insieme dei numeri "complessi".
Conclusione:
Tutta questa spiegazione (per la lunghezza della quale mi scuso) pu�
sembrare astratta e artificiosa, ma io penso che sia l'approccio pi�
corretto a C. I numeri complessi non sono altro che coppie di numeri reali
su cui � definito un opportuno prodotto. Nient'altro. Possono sembrare
strani, ma come i numeri reali non sono altro che strumenti logico-
matematici che ci permettono di operare sul reale. Vengono usati perch�
"funzionano".
Saluti.
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Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi
Received on Sat Oct 07 2000 - 00:00:00 CEST