Re: R: Simboli di Christoffel simmetrici?

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/07/28

"Renzo G." wrote:

>
> Debbo dire che non ho capito bene l'integrazione fatta da Moretti perche' il
> punto dolente e' che A,ik-A,ki=0 sempre (se Ai e' un gradiente) , e quindi
> l'equazione di partenza si riduce sempre ad un'identita'.

Ciao, ti rispondo separatamente. Se hai letto il mio precedente lunghissimo
post avrai visto che bisogna distiguere tra connessione di Levi-Civita e
connessione arbitraria. Landau fa un vero casino, pero' si riesce a capire
dipanando la matassa. Quello che dici tu e' vero se sai gia' che la connessione

e' quella di Levi-Civita (che e' simmetrica ed ammette coordinate in cui i
coefficienti
della metrica si annullano in un punto fissato). Landau nel paragrafo
incriminato
NON fa tale identificazione (anche se nel casino non lo dice esplicitamente),
mentre
assume solo che esista un sistema di coordinate normali riemanniane per ogni
punto
(che lui chiama "galileiane" e definisce in diversi modi anche
inconsistentemente,
ma la stessa confusione si trova gia' nei vecchi articoli a libri di
Einstein...).
Il teorema prova che sotto tali ipotesi (esistenza delle coordinate galileiane)

la connessione deve essere simmetrica.

Aggiungo che poi, sempre nella solita confusione, nel paragrafo 86
arriva anche al teorema finale:

"se una connessione e' simmetrica ed e' compatibile con la metrica
allora e' quella di Levi-Civita"

(cioe' i coefficienti di connessione sono quelli
dati dalle (86,3) che *oggi* si chiamano simboli di Christoffel, mentre nel
casino di Landau, ogni coefficiente di connessione viene chiamato
simbolo di Christoffel).

Ladau dimostra il teorema mostrando che la derivata covariante
del tensore metrico deve essere nulla se si assume che che la
"procedura di alzare ed abbassare gli indici commuti con la derivazione
covariante"

Oggi questo e' un noto teorema: "dire che la derivata covariante,
per una connessione affine genenrica, del tensore metrico sia nulla e'
equivalente a dire che la derivata covariante commuti con la procedura
di alzare ed abbassare gli indici".

Ovviamente pero' Landau non dice *perche'* assume che
"la procedura di alzare ed abbassare gli indici commuti con la derivazione
covariante". Per lui e' evidente, pero' magari per chi studia sarebbe
meglio fare notare che questa e' un'assunzione esplicita.

Devo fare un'altra precisazione. Ho scritto

"Arriviamo al "teorema" incriminato a pag. 316. L'unico modo
di fare funzionare le cose e' quello di pensare che
"coordinate galileiane" significhi coordinate in cui
i coefficienti di connessione si annullino nel punto considerato
(centro delle coordinate), cioe' coordinate Riemanniane normali."

Devo precisare che in effetti Landau, definendo per la (probabilmente)
terza volta le coordinate galileiane, in fondo a pagina 313 dice
che le coordinate galileiane sono quelle che io ho chiamato
riemanniane normali. E afferma che e' esse esistono.
Nell'ipotesi che esistano come dicevo nel precedente post,
lui dimostra che la connessione deve essere simmetrica.

Infine prova che per la connessione di Levi-Civita, che ha ottenuto
imponendo l'esistenza delle coordinate galileiane e della compatibilita'
della metrica on la derivazione covariante, vale l'esistenza di coordinate
galileiane.

Nota che poteva non essere vero: prima aveva provato solo che
SE esiste una connessioneche ammette coordinate galileiane allora
deve essere simmetrica, ma c'e' il SE. Alla fine prova che tutta la
baracca e' consistente e determina univocamente la connessione
di Levi-Civita.



In definitiva mi avete convinto che per queste cose piu' matematiche
il Landau sia veramente di basso livello , deleterio direi,
perche' la struttura logica cede all'intuito fisico e questo non e'
bello per chi deve capire queste cose. Sarebbe stato meglio
procedere in maniera piu' elementare
mostrando che nello spazio di Minkowski la derivata *ordinaria*
in coordinate Minkowskiane produce tensori e che tale operazione
si legge in coordinate arbitrarie, sempre nella varieta' di Minkowski,
tale derivata si esprime come una derivata covariante i cui simboli
di connessione sono dati dalle (86,3), che non sono nulli anche se
lo spazio e' piatto, in coordinate arbitrarie. A questo punto avrebbe
potuto semplicemente notare che il formalismo cosi' costruito
nello spazio di M. ma in coordinate arbitrarie si puo' trasferire
di sana pianta in varieta' che non ammettono coordinate in cui
la metrica sia ovunque in forma diagonale! Tutto qui.
A posteriori avrebbe potuto poi definire la curvatura quando c'e'!

Invece fa un casino dell'altro mondo!

Infine c'e' una cosa di carattere fisico che ho sempre odiato
del landau: non si capisce bene nel libro cosa significhi che in uno
spaziotempo c'e' gravita'. Mi pare (non l'ho mai letto tutto
il libro, potrei sbagliarmi) che lui si fermi al
principio di equivalenza per cui localmente non te ne
puoi accorgere se c'e' o non c'e' gravita'. Peccato pero' che
la definizione di gravita' che usa in tal caso sia quella *classica*,
per cui alla fine non c'e' modo di capire *relativisticamente*
parlando cosa significhi che c'e' gravita'. Eppure arriva alla
"deviazione geodetica" nel paragrafo 86. Bastava dire che
*per definizione*^c'e' gravita' se e solo se c'e' deviazione
geodetica...

Aggiunta: La nota in fondo alla pagina 317 mi pare che sia
una fesseria.E' quello che dice a meno che
la "linea di universo" non sia una geodetica (e le coordinate
di cui parla sono le "coordinate di Fermi"). Anche qui il
testo brilla per chiarezza!


Vabbe' . Vi conviene studiare sul Weinberg o meglio ancora
sul Wald la relativita' generale...e' meglio... ;-)

Ciao, Valter

PS Vorrei pero' spezzare una lancia in favore di Landau.
Ho notato che il traduttore in italiano dei libri della Mir
A. Machov, spesso non capendo nulla scrive delle fesserie,
una buona parte delle difficolta' del lettore sono colpa sua. Una volta
leggendo un libro tradotto da lui tho trovato
nel testo di una dimostrazione:

"quindi sostanzialmente l'operatore A e' autoaggiunto..."

che non significa nulla! Riflettendo sulla
dimostrazione e trovando conferma per confronto
con l'edizione inglese ho poi capito che il testo avrebbe
dovuto essere.

" quindi l'operatore A e'
ESSENZIALMENTE AUTOAGGIUNTO".

No comment.
Received on Fri Jul 28 2000 - 00:00:00 CEST