Re: Relativita'

From: Valter Moretti <moretti_at_alpha.science.unitn.it>
Date: 2000/07/24

Elio Fabri wrote:

> Una cosa che mi disturba un po' (ma e' solo questione di
> linguaggio) e' il dire che la metrica non e' statica, ma la geometria
> dello sp-tempo lo e'. Mi disturba, perche' la metrica e' intrinseca...
> Forse si dovrebbe dire cosi': I punti del rif. rotante hanno una
> famiglia di linee orarie che non ammettono ipersuperfici ortogonali (una
> volta queste cose si chiamavano "congruenze", mi pare).

Si si usa ancora il termine "congruenza". In effetti ho aggiunto una nota
in una delle due risposte precisando che la metrica e' statica ma non lo e`
la sua rappresentazione nelle coordinate rotanti (ovvero la congruenza).

>
> Deve anche avere a che fare col fatto nel rif. rotante non si puo' dare
> una sincronizzazione coerente con la velocita' c della luce (il che a
> sua volta ha a che fare con l'effetto Sagnac).

Si nel caso in esame sono sostanzialmente la stessa cosa .
La definizione di *coordinate sincronizzate* che conosco io e` piu` debole
in un verso e piu' forte in un altro.
L'*espressione* della metrica in tale coordinate deve avere la forma
g_{0k} = 0 con k=0,1,2,3, (1)
dove pero' i coefficienti della metrica (tutti) possono dipendere dal "tempo"
x^0,
ulteriormente deve anche essere (affinche' il tempo delle coordinate coincida
con
il tempo proprio):
g_{00} = -1 (2)
La definizione di coordinate statiche richiede solo la (1) (la (2) e' aggiunta

nella definizione di coordinate ultrastatiche) ma con l' aggiunta della
richiesta
che i coefficienti della metrica non dipendano da x^0.

Nel caso in esame la metrica espressa in coordinate ruotanti non dipende da
x^0, per cui la mancanza di staticita' (g_{0k} diverso da zero)
delle coordinate implica subito la non sincronizzazione.

Sia coordinate statiche che sincronizzate ti permettono di parlare di
spazio di quiete esteso, pero' in coordinate statiche in piu' la metrica
spaziale e' costante nel "tempo" ed in meno il "tempo" non e' quello
proprio degli osservatori infinitesimi in quiete nelle coordinate (se lo e'
la metrica si dice ultrastatica), e questo produce per esempio la
cosiddetta "dilatazione del tempo" in campi gravitazionali.
Nelle coordinate sincronizzate il tempo dell coordinate e' quello proprio,
ma la metrica spaziale dipende dal tempo.




>
> Insisto su questo, perche' non afferro bene la differenza con una
> metrica non statica in senso intrinseco (es. quella di Kerr).
>

La differenza, se ho capito bene cosa non afferri, per quello che conosco
e' la seguente.

Per definizione, una metrica e' statica in una regione A quando esiste
in A un campo vettoriale di Killing temporale con orbite normali ad una
ipersuperficie di tipo spazio in A.

Si ha allora il teorema: una metrica e' statica in A se e solo se esiste
una carta locale statica che ricopre A.

Se ricordo bene la metrica di Kerr non e' statica per cui non esiste alcuna
carta locale statica in alcuna regione dello spaziotempo. Lo spaziotempo di
Minkowski e' statico globalmente rispetto al vettore temporale di Killing
di un arbitrario sistema inerziale e localmente rispetto ai vettori di boost
associati ad un arbitrario sistema di coordinate accelerate (di Rindler).
Tuttavia benche' Minkowski abbia la metrica statica non tutte le sue
carte lo sono, per esempio non lo sono quelle ruotanti.


(Quindi su Minkowski esistono due classi ciascuna delle due con infinite
coordinate statiche
(di Minkowski e di Rindler) la cosa e' esattamente la stessa che accade nello
spazio euclideo a 4 dimensioni, hai due tipi di vettori di Killing: queli
associati
alle traslazioni (globalmente definiti) e quelli associati alle rotazioni
attorno
ad un asse, non definiti sull'asse. In effetti la rotazione di Wick connette
le due classi Lorentziane alle due Minkowskiane ed e` questo uno dei punti
di vista per arrivare all'effetto Unruh oppure al teorema di
Bisognano-Wickmann.)

Ciao, Valter
Received on Mon Jul 24 2000 - 00:00:00 CEST

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