Re: Simboli di Christoffel simmetrici?

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/07/26

Massimo Brighi wrote:

> Il Landau (teoria dei campi) "dimostra"
> che il simbolo di Christoffel {i,jk} deve
> essere simmetrico rispetto gli indici
> j k in questo modo:
> Prende un tensore A_i = df/dx^i cio� il
> gradiente di uno scalare f.
>
> Poi osserva che la differenza delle due
> derivate covarianti
>
> A_k;_i - A_i;_k = ({n,ik} -{n,ki})df/dx^n
>
> � nulla perch� in coordinate galileane il
> la derivata covariante si riduce a derivata
> ordinaria e quindi il primo membro di questa
> eq. � zero. E fin qui siamo d'accordo.
> Ma da questo fa seguire che
>
> {n,ik} -{n,ki} = 0,
>
> da cui la simmetria dei simboli di Cristoffel.
>
> A me sembra che per giungere a questa
> conclusione il tensore A_j dovrebbe
> essere un tensore qualunque. Mentre il
> gradiente di uno scalare non lo �.
> Sbaglio?
>

Ciao, no la dimostrazione del Landau e'
solo incompleta. Ora la completiamo.
Landau prova che per ogni sistema
di coordinate locali e in ogni punto in
esso, vale:

 ({n,ik} -{n,ki})df/dx^n = 0 (1)

per ogni funzione f differenziabile.
Fissa un indice j e considera la funzione
che estrae la j-esima coordinata

(x^0,...,x^n) |--> x^j

allora

dx^j/dx^n = delta^j_n (2)

dove delta e' il delta di Kroneker.
Inserito (2) in (1), tenendo conto
dell'arbitrarieta' di j , trovi

 ({j,ik} -{j,ki}) = 0

in ogni punto per ogni scelta di
i,j e k. Questa e' la tesi.

Ciao, Valter
Received on Wed Jul 26 2000 - 00:00:00 CEST