Re: Relativita'

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/07/24

Elio Fabri wrote:

> Una cosa che mi disturba un po' (ma e' solo questione di
> linguaggio) e' il dire che la metrica non e' statica, ma la geometria
> dello sp-tempo lo e'. Mi disturba, perche' la metrica e' intrinseca...
> Forse si dovrebbe dire cosi': I punti del rif. rotante hanno una
> famiglia di linee orarie che non ammettono ipersuperfici ortogonali (una
> volta queste cose si chiamavano "congruenze", mi pare).
> Deve anche avere a che fare col fatto nel rif. rotante non si puo' dare
> una sincronizzazione coerente con la velocita' c della luce (il che a
> sua volta ha a che fare con l'effetto Sagnac).
> Insisto su questo, perche' non afferro bene la differenza con una
> metrica non statica in senso intrinseco (es. quella di Kerr).
>

Ciao, riposto una risposta perche' tarda ad arrivare quella che ho
mandato venerdi' o sabato.

Allora hai ragione sull'ambiguita' metrica statica/coordinate statiche,
infatti ho precisato meglio in una delle mie due risposte precedenti.

In ogni caso:

a) una metrica e' detta statica in una regione A se esiste un campo
vettoriale di Killing di tipo tempo in A le cui orbite sono ortogonali
ad una ipersuperficie di tipo spazio.

b) una carta locale e' detta *statica* (ovvero e' detta statica la
rappresentazione della metrica in essa), se i coefficienti della metrica
in tali coordinate soddisfano:

1) g_{0i}= 0, i=1,2,3;

2) g_{ab} non dipende dalla coordinata temporale x^0, per
a,b = 0,...,3.

Si ha il *teorema* che dice che
_una metrica e' statica in A se e solo
se per ogni punto di A c'e' una carta locale statica contenente il
punto_;

c) una carta locale e' detta *sincronizzata* se in essa la metrica ha la
forma:

1) g_{0i} = 0, i= 1,2,3;

2) g_{00}= -1.

In questo caso ha senso parlare di *spazio di quiete esteso
a tempo costante* dato dalle ipersuperfici a x^0 costante,
e x^0 coincide con il tempo proprio degli osservatori in quiete
nelle coordinate La metrica spaziale pero' dipende dal tempo
in generale.

In coordinate statiche ha ancora senso parlare di spazio di quiete
esteso a tempo (delle coordinate) costante ed in piu' la metrica
spaziale non dipende dal tempo delle coordinate, tuttavia,
in generale, quest'ultimo non coincide piu' con il tempo proprio
(da cui segue per esempio il cosiddetto "ritardo degli orologi in
campo gravitazionale" ; in realta' per questo sono sufficienti
coordinate *stazionarie* cioe' in cui 1) di a) e' falsa e 2) e' vera).


Si ha il *teorema* che dice che
_per ogni spaziotempo, nell'intorno
di ogni evento posso trovare, in infiniti modi, una carta locale
sincronizzata_.

Nel caso delle coordinate ruotanti, la metrica e' statica perche' e'
quella di Minkowski, tuttavia le coordinate ruotanti non sono
statiche anche se la condizione 2) della definizione a) e' verificata.
In tal caso la non staticita' implica la non sincronizzazione ed
in ogni caso non ha senso parlare di spazio di quiete esteso
a tempo costante.

La differenza tra la metrica di Kerr e quella dell'"osservatore
ruotante" e' la seguente: la prima *non e' statica* la seconda lo
e'. Nel secondo caso queindi ci sono sistemi di coordinate statici
nel secono non ce ne sono.

Nel secondo caso addirittura ce ne sono due classi: quelle di
Minkowski e quelle di Rindler, con due campi di Killing
differenti. Corrispondono alle due classi che si hanno in
R^4 euclideo tramite la rotazione di Wick:
le coordinate ortogonali cartesiane e quelle cilindriche
attorno ad un asse (il campo associato alla coordinata angolare
e' il vettore di Killing). Con queste due classi si puo' costruire
il teorema di Bisognano-Wickmann ovvero l'effetto Unruh...

Ciao, Valter
Received on Mon Jul 24 2000 - 00:00:00 CEST