Re: (lungo) aiuto! : problema concettuale riguardo rendimento macchina termica

From: Giovanni Rana <vitali75_at_libero.it>
Date: 2000/07/18

santo giuseppe <santogiuseppe_at_tin.it> wrote in message
8kq8bk$fdj$1_at_nslave1.tin.it...
> Ciao Nik, ti ringrazio per avermi risposto...

Ciao Giuseppe, sono Giovanni Rana: mi scuso con te e Nik se mi "infilo"
nella vostra discussione invece di accodarmi a quella iniziata da me e te,
ma il thread � lo stesso, e dato che qui hai messo i tuoi passaggi, � pi�
facile rispondere a questo post.

> T2 = 400 �K; T1 = 300�K; (Vb/Va) = 5/2;
> allora riporto la formula: nu = W/Qa = [Wab + Wcd] / [Qab + Qda]
> (naturalmente sia i termini W che Q vanno intesi dotati di segno secondo
la
> convenzione adottata....)
>
> nu = [n R T2 ln(Vb/Va) + n R T1 ln(Va/Vb) ] / [ n R T2 ln(Vb/Va) + n Cv
> (T2-T1) ];
>
> allora, mettiamo in evidenza "n * R" tenendo conto che per un gas
> monoatomico Cv = (3/2) * R;
>
> nu = n R [T2 ln(Vb/Va) + T1 ln(Va/Vb)] / n R[T2 ln(Vb/Va) + (3/2) * (T2 -
> T1)];
>
> semplifichiamo e notiamo che ln(Va/Vb) = - ln(Vb/Va)
> quindi il tutto diventa......
> nu = ln(Vb/Va) (T2-T1) / [T2 ln(Vb/Va) + (3/2) (T2 - T1)];
> sostituiamo i valori:
> nu (circa uguale a ) = (0.91 * 100 �K) / (400 �K * 0.91 + 1.5 * 100 �K);
> cio� nu = 91 / 514 = 0.17 circa...

Va bene. Per�, scusa la pignoleria, ln(5/2) = 0.916... per cui si dovrebbe
approssimare a 0.92 , mentre 91/514 = 0.177... per cui si approssima a
0.18, non 0.17 (okkey, lo so, son troppo pignolo ) . Ma quello che conta
� il ragionamento, e quest' ultimo � corretto.

> invece la teoria prevede nu = 1 - (T1/T2) = 0.25

?? Il tuo libro qui si sbaglia: la teoria dice semmai che nu < 0.25, e ci�
per il teorema ( o integrale, o disuguaglianza ) di Clausius, che per certi
versi � una generalizzazione del teorema di Carnot. Dimostrazione:
su qualsiasi ciclo termodinamico (reversibile o meno) vale che
int(dQ/T) < = 0. In particolare considero cicli reversibili, ergo ho
int(dQ/T) = 0 : ora, detto dQi il calore in ingresso (con segno) e dQu
 il calore in uscita (con segno) , scrivo int(dQ/T) = int(|dQi|/T) -
int(|dQu|/T) = 0. Inoltre siano rispettivamente Tmax e Tmin gli estremi
delle temperature delle sorgenti con cui scambio ( se uno �
particolarmente "perverso" potrebbero non esistere Tmax e Tmin,
per� di certo esistono Tinf e Tsup). E' ben chiaro che:

1) int(|dQi|/Tmax) < int(|dQi|/T) (nota: la disuguaglianza vale col "<"
solo se dQ non � identicamente nullo ( caso banale ) e se la temperatura
delle sorgenti che ci cedono calore non � la stessa per tutte, cio� se sto
scambiando calore con _pi�_ di due sorgenti )

2) int(|dQu|/Tmin) > int(|dQu|/T) (valgono le precisazioni di cui sopra)

Ergo:

 int(|dQi|/Tmax) - int(|dQu|/Tmin) < int(|dQi|/T) - int(|dQu|/T) = 0

Dunque, portando le temperature costanti fuori l' integrale, ho

|Qi|/Tmax-|Qu|/Tmin < 0;
Tmin/Tmax < |Qu|/|Qi|;
1 - |Qi|/|Qe| = nu < 1 - Tmin/Tmax. CVD (*)


Tanto per curiosit�, l' errore si trova nello svolgimento di un
esercizio ( e allora potrebbe essere un errore di stampa, ma mi
pare molto strano dato che effettivamente 1-T1/T2= 0.25, ergo
non sembra casuale) o addirittura si tratta di un esempio svolto nella
teoria, quindi con tanto di discussione dettagliata ? Questo mi
stupirebbe perch� invece il libro di esercizi di Fisica II degli stessi
autori mi era sembrato molto buono: puoi controllare questo ciclo di
Stirling su altri testi e/o chiedere al prof, ma l' errore del testo �
indubitabile.

> che � praticamente il valore che si ottiene se noi utilizziamo la formula:
> nu = W/ Qcd dove W � il lavoro ottenuto dalla somma dei lavori positivi e
> negativi lungo le isoterme, mentre Qcd � il calore (= lavoro) negativo
> durante la seconda isoterma, quella in cui il gas viene compresso...
> ==> nu = 761.8 J / 3047.2 J = 0.25 circa...., e adesso come la mettiamo,
> forse l'isocora non contribuisce al calore assorbito?
> Beh, magari sto ancora sbagliando, ma proprio l'altro ieri un ragazzo ha
> fatto lo stesso errore, e sai perch� perch� sul libro (il Mazzoldi) la
> formula viene gettata quasi senza spiegazioni, e i contributi dei calori
> assorbiti e ceduti dalle isocore si annullano l'un l'altro, al che il
> professore l'ha cazziato e gli ha detto "ma che fai? elimini i calori
l'uno
> con l'altro, ma dove siamo????"

Scusa, ma qui sei proprio poco chiaro ( o mi sono scemunito io):

1) i due calori *sono uguali in modulo e opposti in segno*, perch� �
chiaro che i deltaU durante le due isoterme sono nulli. Ma deltaU su
 tutto il ciclo � nullo, per cui Qbc+Qda=0;
2) Se il tuo collega stava scrivendo il numeratore di nu , per esempio,
allora faceva bene ad eliderli ed il tuo professore � una grande sola. Se
invece, come credo, stava scrivendo il *denominatore* di nu, allora
qui ci vanno solo i calori assorbiti e dunque Qbc e Qda non si
annullano semplicemente perch� Qbc qui non ci vuole, e allora il tuo
professore aveva ragione. Qual era la situazione?
Comunque, se il Mazzoldi ecc. � il vostro libro di testo, allora il
professore potrebbe risparmiare fiato per le cazziate e spenderlo
per informarvi circa le eventuali imprecisioni contenute nel testo
( che magari � pure un ottimo testo, dato che non � un singolo
errore che rovina un libro ).

Ciao,
Giovanni

(*) Per sistemi a due gradi di libert� termodinamici, come ad esempio
un gas perfetto che non scambi massa con l' ambiente (ergo se misuro
p e V conosco T, S, U, H, f, G, ecc. dato che n � costante), si pu�
fare una dimostrazione molto pi� elegante. Sei in grado di trovarla?
Received on Tue Jul 18 2000 - 00:00:00 CEST