R: R: R: Ascensore di Einstein

From: Biagio <dimiccob_at_libero.it>
Date: 2000/07/10

Invio questo messaggio da parte di Walter Moretti, per i motivi che leggete
nel post a cui rispondo!!
Valter Moretti <moretti_at_alpha.science.unitn.it> wrote in message
Pine.OSF.3.96.1000710114539.16023A-100000_at_alpha.science.unitn.it...
>
 Biagio ha scritto:

Ok, la risposta � piu' che esauriente. Semplicemente non so che cos'� questa

> nozione di piattezza locale, pensavo che fosse proprio quella
> infinitesima!!!
> Visto che ci siamo, cosi' mi anticipi nozioni di un esame che a breve devo
> iniziare a studiare, cos'� questa nozione di piattezza locale finita??

Ciao, OK vediamo di spiegare.

Se prendi una varieta` , uno spaziotempo, e prendi un punto p in esso,
riesci
sempre a trovare
un sistema di coordinate centrate in quel punto (p ha coordinate tutte
nulle) ed
estese in un intorno
U_p di p, in cui la metrica ha la forma

g_ij(x) = g_ij(0) + 0 + O(x^2)

dove O(x^2) e` una funzione infinitesima di ordine 2 per x ->0,
 g_ij(0) e` la metrica nel punto p che ha forma diagonale (-1,1,1,1)
 oppure
(1,-1,-1,-1) a
seconda delle convenzioni). Quindi *fino al prim`ordine nelle coordinate*
nell`intorno di p la metrica
e' quella "piatta" diag (-1,1,1,1).
Queste coordinate sono quelle che permettono di scrivere in modo
matematicamente
rigoroso il
principio di equivalenza, in quanto, al prim`ordine nelle coordinate le
geodetiche temporali uscenti da
P sono rette (moti rettilinei uniformi...).
Questa e` la nozione di "locale piattezza" in senso infinitesimo e vale per
tutte le varieta`, le coordinate
di cui sopra si chiamano coordinate normali rispetto a P o coordinate normli
di
Riemann (o di Gauss)
rispetto a P.

La nozione di "locale piattezza" in senso finito e` invece la seguente. Se
in
una regione A dello spaziotempo
il tensore di curvatura di Riemann e` nullo ovunque, allora in un intorno
finito U_p di ogni punto p di A c`e' un sisitema di
coordinate in cui la metrica ha la forma

g_ik(x) = diag(-1,1,1,1) per ogni x in U_p

Come vedi qui la forma diagonale della metrica non e` solo in p ma e` in
tutto
l`intorno di p.
Si dice che la varieta` e` localmente piatta in A.

Se il tensore di curvatura di Riemann si annulla su tutta la varieta` non e`
detto che essa sia quella di
Minkowski, ma solo che coincide con essa in un intorno finito di ogni punto.
Trovare dei controesempi e`
abbastanza facile...

Spero che ora sia piu' chiaro.

Ciao, Valter

-da parte mia: Chiarissimo, grazie mille.
Received on Mon Jul 10 2000 - 00:00:00 CEST