Re: invarianza delle equazini di maxwell

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: 2000/07/06

daniele <daniele.signori_at_infinito.it> scritto nell'articolo
<01bfddfa$f727b3c0$448fd8d4_at_default>...
>
> sto cercando una dimostrazione dell'invarianza delle leggi di maxwell
> rispetto alle trasformazioni di lorenz. Non sono ancora riuscito a
trovare
> nulla, mi basterebbe un piccolo suggerimento per iniziare :)
> please: una copia della risposta al mio indirizzo e-mail :
> daniele.signori_at_infinito.it
> grazie in ogni caso
> _____________________________
> Posted from IP 213.213.2.165
> via Studenti.it Gateway
> http://www.studenti.it
>

Puoi trovare ci� che cerchi su un vecchio libro
di relativit� ristretta scritto da Resnik (il coautore
del famoso Halliday-Resnik), purtroppo non ricordo
il titolo (mi pare Relativit� Ristretta) e l'editore
(Zanichelli ?). C'� qualcosa anche su The Classical
Electromagnetic Field di Leonard Eyges (Dover,
New York 1972).
 
Per quanto riguarda la copia privata, mi dispiace di non
potertela mandare, ma il mio e-mailer � fuori uso da pi�
di un mese...spero che questo post ti sia di qualche utilit�.

Nel seguito indico la derivata parziale col simbolo
della derivata totale d / dx, d / dt ecc. Faccio cos�
perch� la mia tastiera non ha il simbolo di derivata parziale.
Ma sia chiaro che intendo solo e sempre la derivata parziale.

La velocit� della luce c � assorbita in t per comodit� di
scrittura (cio�, tutte le volte che nelle formule vedi t, devi
intendere c t ).

Le componenti dei vettori le indico con una parentesi
che racchiude l'asse; per esempio, la componente del
campo elettrico lungo l ' asse x � E (x) ; la componente
del campo magnetico lungo l'asse z � B (z), ecc.

Le coordinate nel sistema K sono x, y, z, t;
quelle in K ' sono accentate:
x ' , y ', z ', t ' .

Cominciamo:

Da Analisi II si ha

d / dx = (dx ' / dx) d / dx' + (dy' / dx) d / d y' +

+ (dz '/dx) d / dz ' + ( dt' / dx) d / dt' . ( 1 )

e analoghe per d / dy, d / dz, d / dt


A questo punto introduciamo le equazioni
di Maxwell: partiamo da questa (non � obbligatorio
scegliere questa, ma da una bisogna cominciare)
(non uso le abominevoli unit� SI perch� tutti quegli
epsilon e mu mi fanno accapponare la pelle)


rot E + dB / dt = 0 ( 2 )


e consideriamo la componente y (non � obbligatoria
neanche questa scelta, ma qualcosa bisogna
scegliere: del resto, come disse non so qual filosofo,
se non scegli hai gi� scelto perch� hai scelto di non
scegliere; dimenticava, per�, che non sempre la
non scelta viene da una scelta: chiudo qui la divagazione
scherzosa)

                                                                 
( rot E ) (y) = dE(x)/dz - dE(z)/dx = -- dB(y)/dt ( 3 )


Questa vale in K ;
adesso usiamo il principio di relativit�: le equazioni
di Maxwell (in particolare la ( 3 ) ) devono valere
anche nel sistema K ' . Quindi in K' avremo la stessa
equazione ( 3 ), con la differenza ovviamente, che alle variabili
non accentate sostituiamo quelle accentate,


dE ' (x ' ) / dz ' -- d E ' (z ' ) / dx ' = -- d B ' (y ' ) / dt'
( 4 )


(Nota: l'invarianza non si deduce; si _ impone _ sulla
base del principio di relativit�).

Adesso introduciamo le equazioni di trasformazione
delle coordinate; per semplicit� poniamo l'asse x '
parallelo all'asse x e con lo stesso verso;
supponiamo anche che K ' si sposti nel verso positivo
di x ; le equazioni di trasf. sono:

x ' = g x -- g u t ( 5 )
                                                         
y ' = y ; z ' = z ;

t ' = g t -- g u x
                       
g = 1 / ( 1 -- u ^2 ) ^ ( 1 / 2 ) , e u = v / c
dove v � la velocit� relativa.

Da queste si trae

d x ' / d x = g ; ( 6 )

d y ' / d x = d z ' / d x = 0 ;

d t ' / d x = -- g u ;

d x ' / d t = -- g u ;

d t ' / d t = g ;


che introdotte nelle ( 1 ) danno


d / d x = g d / d x ' -- g u d / d t ' ( 7 )


d / d y ' = d / d z '


d / d t = -- g u d / d x ' + g d / d t '


Inserisci nella ( 3 ) e troverai


d E(x)/d z ' -- (d / d x ' ) ( g E(z) + u g B(y) ) +

+ (d / d t ' ) ( g B(y) -- g E(z) ) = 0 ( 8 )


Il confronto con ( 4 ) d�:


E ' (x) = E(x) ( 9 )


E ' (z) = g E(z) + g u B(y)


B' (y) = g B(y) + g u E(z)
 

dove ho scritto E ' (x) al posto di E (x ' )
(e lo stesso per le altre) perch� gli assi x e x '
y e y ', z e z ' sono paralleli.

Le trasformazioni delle altre componenti
di E e B si trovano in modo analogo.

Conclusione: se le equazioni di Maxwell
hanno la stessa forma in K e K ',
allora i campi E e B si trasformano secondo
le ( 9 ). In altre parole le ( 9 ) sono la condizione
necessaria perch� il principio di relativit� si
applichi ai fenomeni elettromagnetici.

Immagino che la dimostrazione che cercavi
fosse di questo tipo (che � il pi� antico,
usato da Einstein nel suo primo articolo sulla
RR) ; l'altro tipo (che sfrutta i tensori dello spazio
tempo) la trovi su tutti i libri.

Cordialmente

Corrado
Received on Thu Jul 06 2000 - 00:00:00 CEST

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