HELP - distribuzione di Boltzmann

From: Luca <morluc_at_tin.it>
Date: 2000/06/03

Ho bisogno di un aiuto sulla distribuzione di Boltzmann

Ho cercato di trovare una giustificazione qualitativa della formula
      
   ni = e(exp)-Ei/kT

ma non ho trovato nulla di soddisfacente nei testi. So che c'� dietro della matematica pesante e
concetti di statistica, ma credo anche che una formula cos� semplice possa in qualche modo
essere interpretata intuitivamente con qualche semplice sequenza logica di leggi fisiche.

Vorrei sottoporvi il seguente esempio autoprodotto, sicuramente non molto rigoroso, e avere il vostro parere
se il ragionamento � corretto :


Considero un gas racchiuso in un contenitore. Immagino di classificare le molecole del gas
in base ai loro livelli energetici. All'equilibrio, il numero ni di molecole aventi un certo
livello energetico Eki rimarr� pi� o meno costante (a parte piccole oscillazioni).

Considero quindi gli scambi energetici delle Ni molecole che hanno energia cinetica Eki con
le altre molecole.

Immagino anche che questo gruppo di molecole possa essere racchiuso da una superficie
di volume V (non � cos� ma non dovrebbe importare).

Ora ipotizzo che a causa delle interazioni e degli urti con le altre molecole confinanti,
questo gruppo vari la propria energia cinetica di dEk.

La variazione di energia cinetica complessiva (con energia potenziale costante) equivale ad un lavoro
assorbito dW, pari a dEk * Ni

dW' = dEk*Ni

dove Ni � il numero di molecole con energia Eki.

D'altro canto, visto che il sistema � isolato, il lavoro assorbito da questo gruppo di molecole � anche
uguale a al lavoro ceduto dalle restanti molecole, che considero essere

dW" = pdV

Chiamo

Ni : numero molecole con Eki
ni : densit� molecole con Eki

V=Ni/ni

dV=-Ni/(ni)��dni

p=ni�k�T

quindi

pdV = n�k�T�(-Ni/ni��dn) = - k�T�Ni�dn/n

ed eguagliando dW' con dW" si ottiene l'equazione differenziale che da' la distribuzione di
Boltzmann:

dW'= dEk*Ni = - k�T�Ni�dn/n = dW"

In pratica, il bilancio energetico sul gruppo di molecole con energia cinetica Eki si traduce in
una condizione sulla variazione di ni al variare di Eki.

Forse � un po tirato per i capelli... mi piacerebbe ricevere qualche parere da fisici pi� esperti

Inoltre, qualcuno conosce links per siti che hanno una trattazione approfondita (e con tutta la matematica necessaria) di come
si deriva l'equazione ?

E' anche notevole il fatto che la distribuzione delle velocit� in una direzione prefissata (facilmente derivabile da questa)
corrisponda esattamente alla distribuzione Gaussiana (con media = 0 e s.q.m. = sqrt(kt/m) )!
I testi di fisica di solito non sottolineano questo fatto.


grazie per l'assistenza

Luca
Received on Sat Jun 03 2000 - 00:00:00 CEST