(wrong string) � ,ma quante sono ?

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: 2000/06/07

Risposta breve: c'e' chi ne ha contate 9.

Risposta lunga:

Fabrizio Bertone wrote:
>
> nei giorni scorsi ,
> la stampa di Torino ,metteva sulle proprie pagine
> l'annuncio relativo alla velocit� della luce (che sarebbe stata superata )......
> nell'articolo ,venivano menzionate
> -velocit� del segniale
> -velocit� di fase
> -velocit� di gruppo
>
> qualcuno pu� spiegare cosa rappresentano questi tre termini ?

Provo a risponderti in modo non rigoroso ma (spero) corretto in
"approssimazione divulgativa del prim' ordine" :-)

Per semplicita' in quanto segue immagino di avere un' unica coordinata
spaziale x per non appesantire le formule. A meno di avvertenze
esplicite, il discorso continua a valere con poche ovvie modifiche per
la piu' generale dipendenza da tutte e 3 le coordinate spaziali.

L' equazione che descrive la propagazione della luce nel vuoto
e' l' equazione delle onde classica -- contenente un parametro c, delle
dimensioni di una velocita' -- le cui soluzioni generali hanno la forma
A(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct). [1]
Dove A e' l' ampiezza del campo/i che descrive la radiazione luminosa e
f e g sono due funzioni arbitrarie da determinare in base alle
condizioni iniziali ed al contorno per l' equazione d' onda.

L' informazione fondamentale contenuta nell' espressione [1] e' che se
al tempo t=0 parto p. es. con g=0 e f=f(x), l' evoluzione del tempo
della soluzione [1] corrispondera' a mantenere g=0 e a traslare
rigidamente il profilo f(x) di ct verso destra. Analogamente ma nel
verso opposto se f=0 e g(x,t=0) = g(x). In generale la soluzione [1]
rappresenta due "segnali", f(x) e g(x), che traslano rigidamente uno
verso x crescenti ed uno verso x decrescenti con velocita' c.

Cosi' se ho un sistema che irradia nel vuoto dal tempo t=0 al tempo t=T
avro' un impulso che si propaga senza deformarsi a velocita' c di
estensione spaziale cT.

Il teorema di Fourier mi dice che ogni impulso soluzione dell' equazione
d' onda puo' essere immaginato come la sovrapposizione di (infinite)
onde piane monocromatiche che coprono tutte le possibili
frequenze/lunghezze d' onda. In genere e' quindi conveniente lavorare
"per componenti di Fourier" e ricordare che alla fine, essendo l'
equazione lineare, posso ottenere qualunque soluzione sovrapponendo
soluzioni monocromatiche.

Le singole soluzioni monocromatiche sono del tipo sin(x-ct+A) oppure
sin(x+ct+B), dove A e B sono fasi costanti. Per tutte queste onde vale
la relazione tra frequenza (ni), l. d' onda (lamda) e c (indipendente da
lamda)): c=ni*lamda, ovvero, introducendo la pulsazione omega=2*pi*ni e
il numero d' onda k=2*pi/lamda, c = omega/k.

Attenzione. In questo caso "c" e': sia la velocita' con cui si spostano
punti con la stessa fase nelle onde monocromatiche sinusoidali
(VELOCITA' DI FASE), sia la velocita' con cui si spostano i singoli
punti del profilo dell' impulso, sia la velocita' con cui si propaga il
centro dell' impulso (qualunque sia la sua definizione), sia la
velocita' con cui si propaga l' energia associata all' impulso stesso.

Cosa succede se la luce si propaga in un mezzo materiale ?

In genere i mezzi sono "dispersivi". Questo e' un modo per dare un nome
al fatto che se si studia la propagazione di onde monocromatiche, si
trova una dipendenza della velocita' di propagazione dalla lunghezza d'
onda.
La prima conseguenza della dispersione e' che l' equazione per le onde
non e' piu' quella classica (di D'Alambert) ma una molto piu' complessa.

La complessita' puo' essere ridotta se si analizza l' equazione in
analisi di Fourier, ovvero se si considera cosa succede ad ognuna delle
possibili frequenze/lunghezze d' onda in cui si puo' scomporre un
segnale.

In tal modo si arriva ad un' equazione per le singole ampiezze
monocromatiche in cui il mezzo interviene sia rendendo la velocita' di
fase diversa alle diverse lunghezze d' onda (omega = c(k)*k, dove adesso
la velocita' di fase c e' funzione di k), sia provocando assorbimento
(anche questo funzione della l. d' onda).

La principale conseguenza e' che se ricostruisco l' impulso reale a
partire dalle soluzioni per ogni lunghezza d' onda, questo non si
propaga piu' in modo semplice "traslando" rigidamente un profilo
iniziale ma si deforma progressivamente evolvendo nello spazio e nel
tempo.

A questo punto il concetto di velocita' di fase perde di significato
operativo diretto e occorre caratterizzare meglio cosa si intende per
velocita' dell' impulso luminoso che si deforma.

Il primo passo (in ordine crescente di complessita' nell' azione del
mezzo) e' di definire una velocita' "media" per l' impulso di
radiazione. Questo puo' essere fatto in modo approssimativo ma
ragionevole se l' impulso e' costituito da componenti di lunghezza d'
onda prevalentemente concentrata attorno ad un valore medio.
Il risulato e' l' introduzione della VELOCITA' DI GRUPPO.
Questa e' definita come v_g = d omega / d k (derivata di omega rispetto
a k). Se scrivo la relazione tra omega e k come omega = c(k)*k,
ottengo che
v_g = c(k) + k dc/dk [2]

ovvero, la velocita' di gruppo differisce da quella di fase per la
presenza del secondo termine. I due valori ridiventano uguali nel caso
in cui c(k) = costante, ovviamente.

Si puo' anche mostrare che, entro le approssimazioni in cui la v_g e'
significativa, coincide con la velocita' a cui l' energia viene
trasportata.

E' importante notare che la differenza tra velocita' di fase e v. di
gruppo permette di spiegare come in alcune situazioni si possa avere
velocita' di fase maggiore della v. della luce nel vuoto senza
contraddizione con la relativita': la v. di fase NON e' la velocita' a
cui viaggia un segnale fisico causale, ne' tantomeno la velocita' a cui
si propaga l' energia.

Tutto chiaro? allora perche' non possiamo fermarci a v_g?

Perche', come dicevo l' utilita' di v_g per rappresentare la velocita'
dello spostamento di "qualcosa" e' limitata.
In particolare, se le proprieta' di assorbimento e dispersione del mezzo
sono opportune, si puo' anche trovare v_g > c. Tuttavia anche in questo
caso la relativita' e' salva. Infatti in queste situazioni la
deformazione dell' impulso e' cosi' drammatica da invalidare le
considerazioni che portano a giustificare [2] come velocita' di
propagazione delle proprieta' fisiche dell' impulso stesso.

In questo caso si trova (l' analisi originale e' stata fatta da
Sommerfeld e Brillouin ai primi del '900) che occorre analizzare con
piu' rigore matematico il comportamento per tempi lunghi di un impulso
luminoso finito iniziale.
L' analisi e' un' interessante applicazione di stime asintotiche in
analisi complessa e richiede un modello esplicito per le proprieta'
dispersive del mezzo.

Il risultato principale e' che se definiamo VELOCITA' del SEGNALE la
velocita' con cui si propaga "la parte dominante" del segnale iniziale,
questa si propaga con velocita' minore della v. della luce nel vuoto
SEMPRE. Inoltre coincide con la velocita' di gruppo nelle situazioni in
cui questa e' una misura sensata della v. di propagazione dell' impulso
come un tutto.

Sempre dall' analisi asintotica, si scopre che prima dell' arrivo del
segnale (ovvero della parte importante della radiazione), arrivano due
"precursori" dello stesso, il piu' veloce dei quali (precursore di
Sommerfeld) viaggia alla velocita' della luce nel vuoto.


La definizione di cui sopra di v. del segnale e' obbiettivamente poco
precisa. Purtroppo la definizione tecnica richiede di entrare piu' nel
dettaglio tecnico dell' analisi asintotica e percio' evito. Sempre
continuando sul "tecnicismo" e' possibile introdurre ulteriori
"velocita'" che caratterizzano quello che succede al segnale iniziale a
vari stadi di raffinamento.

La mia conoscenza dell' argomento grosso modo finisce qui.
Se c'e' qualche "addetto ai lavori" potra' sicuramente correggere quello
che ho detto o chiarirlo.

Per chi e' in grado di seguirla, c'e' un' introduzione piu' accurata
all' argomento sul Jackson "Classical elettrodynamics". O, piu' in
dettaglio nella letteratura specialistica. Se qualcuno e' interessato
posso mandare riferimenti.

Credo che ci sia anche qualcosa di piu' accessibile sull' American
Journal of Physics. Se lo trovo, lo segnalero'.

Ciao

Giorgio Pastore
Received on Wed Jun 07 2000 - 00:00:00 CEST