Re: MOTO PARABOLICO

From: cesco <webTOGLIMImonster_at_apf.it>
Date: 2000/05/24

>Da una rupe vengono sparati dei colpi di cannone. I proiettili compiono un
>moto parabolico. Perch�?

Consideriamo un corpo lanciato con velocit� v0 ed angolo alfa
sull'orizzontale (alfa=90� verticale, alfa=0� orizzontale).
Il corpo � soggetto alla forza di gravit�, che lo attira verso il
basso con accelerazione g (circa 9,8 m/s^2), e ad altre forze che
possiamo trascurare, come l'attrito viscoso dell'aria, la spinta
idrostatica dell'aria (quella che fa galleggiare Archimede), la forza
di gravit� della luna, la voglia di volare, il richiamo dell'elemento
spirituale verso il Pleroma, etc.
Per comodit� scomponiamo il moto nelle due componenti orizzontale e
verticale:

v0x=v0*cos(alfa)
v0y=v0*sen(alfa)


L'accelerazione orizzontale � nulla (la forza di gravit� tira verso il
basso) quindi la componente orizzontale della velocit� rimane costante
ed il moto � uniforme; in simboli, considerando come origine del
nostro sistema di riferimento il punto di partenza:

ax= 0
vx= v0x = v0*cos(alfa)
x= vx*t = v0*cos(alfa)*t
(dove t � ovviamente il tempo espresso in secondi)

L'accelerazione verticale � invece diretta verso il basso e di modulo
g, (vale -g se consideriamo l'asse delle y puntato verso il cielo). La
velocit� varier� secondo l'accelerazione (sempre g) ed il moto sar�
uniformemente accelerato, in simboli (asse y verso il cielo):

ay= -g
vy= v0y+ay*t = v0*sen(alfa)-g*t
y= v0y*t+(ay*t^2)/2 = v0*sen(alfa)*t-(g*t^2)/2

*** Inizio divagazione ***

Apriamo una parentesi e vediamo come ricavare l'ultima espressione
senza nozioni di calcolo integrale [dalla tua domanda mi pare di
capire tu non abbia compiuto ancora approfonditi studi scientifici,
quello che ti ho scritto lo trovi tale e quale in qualunque libro che
tratti di cinematica (per es. primo capitolo di un qualunque Fisica
1)].
Siamo in presenza di un'accelerazione costante -g, il che significa
che la velocit� diminuisce di 9,8 m/s ogni secondo che passa, tanto
che ad un certo istante si annulla (quando raggiunge il culmine) e poi
si inverte di segno.
L'accelerazione costante indica che il grafico della velocit� nel
tempo � una retta (vy=v0y+ayt -> vy(t)=q+mt).
Quale sar� lo spazio percorso all'istante t? Possiamo calcolarlo
ricordando che la velocit� media ( <v> ) � il rapporto fra spazio
percorso (y) e tempo impiegato a percorrerlo (t), in simboli <v>=y/t
=> y=<v>*t. Vediamo che per calcolare lo spazio percorso basta siano
noti velocit� media e tempo. Considerato che l'accelerazione �
costante la velocit� media � data dalla media aritmetica fra velocit�
iniziale (v0) e finale (v') (si pensi alla retta che la rappresenta),
in simboli <v>=(v0+v')/2, con v'=v0+a*t.
Sostituendo coi dati dell'esempio precedente abbiamo:
y=<v>*t = (v0y+v')*t/2 = (v0+v0-g*t)*t/2 = v0*sen(alfa)*t-(g/2)*t^2
che � proprio quello che abbiamo scritto sopra.

*** Fine divagazione ***

Il nostro problema � poter tracciare, nel sistema di riferimento da
noi adottato, la traiettoria e, per venirne a capo, basta risolvere il
seguente sistema formato dalle funzioni di x e y rispetto al tempo, in
modo da far sparire t, lasciando y=f(x) (si ricava t in una equazione
e si sostituisce nell'altra).

 /
 |
 | x= v0*cos(alfa)*t
<
 | y= v0*sen(alfa)*t-(g*t^2)/2
 |
 \

che d� come soluzione:
y=x*tg(alfa)-(g*x^2)/(2*v0^2*cos^2(alfa)) => y=ax^2+bx
che � appunto l'equazione di una parabola (passante per l'origine,
perch� abbiamo scelto l'origine del nostro sistema di riferimento nel
punto in cui c'� il corpo all'inizio del lancio).

*** Chiosa che di solito si fa giunti a questo punto ***

Come si calcola la gittata?
Modifichiamo la tua domanda ed immaginiamo di lanciare il proiettile
non da una rupe (non che cambi molto), ma da terra. La gittata sar� la
distanza x che il corpo avr� percorso quando y sar� tornato ad essere
0 (cio� quando il corpo avr� toccato terra).

Poniamo y=0 e otteniamo due soluzioni:
x=0 :)
x=2*v0^2*cos(alfa)*sen(alfa)/g

che, applicando la simpatica formuletta di duplicazione del seno
(sen(2*alfa)=2*sen(alfa)*cos(alfa)), diventa:

x=(sen(2*alfa)*v0^2)/g

la quale, al variare di alfa, ha il suo massimo quando sen(alfa)=1 =>
alfa=45�, ovvero la gittata massima si ottiene lanciando il corpo, a
parit� di velocit�, con un angolo di 45�.

*** Fine chiosa ***

P.S. Ovviamente, come si vede dalla soluzione, la gittata non dipende
dalla massa, ma solo da angolo, velocit� e accelerazione di gravit�
(pressocch� costante).

P.P.S. Se consideriamo un corpo non puntiforme che se ne va in giro
per aria le cose si incasinano parecchio, si possono innescare moti
turbolenti dell'aria, variazioni di pressione, moscerini killer, etc.,
ma per velocit� non elevatissime il modello sovraesposto dovrebbe
andare bene.

ciao ciao,
cesco
Received on Wed May 24 2000 - 00:00:00 CEST