Re: Tensori e gradienti...

From: Adriano Amaricci <amaricci_at_tiscalinet.it>
Date: 2000/04/18

Raffaele Tegas ha scritto....
>Ciao a tutti,
>chi sarebbe cos� gentile da spiegarmi cos'� un tensore?
Bella domanda!
Def: una collezione di n^a numeri reali (o complessi),con n=dimensione dello
spazio di riferimento (R_2, R_3, R_4), � detto "tensore di ordine a" se si
trasforma rispetto ad un sdr secondo la seguente regola: A'_a'b'...=g_a'a
g_b'b ...A_ab... (pensa alle trasformazioni lineari ortogonali)
Sulle propriet� dei tensori si pu� parlare parecchio ma per motivi di spazio
limiter� la mia discussione. Riguardo poi al modo di disporre questa
collezione di numeri mi sembra che sia stata gi� data una risposta negli
altri post (scalari, vettori, matrici, ecc..).
[In verit� esiste una definizione molto pi� ampia usata in geometria
differenziale che sfrutta le forme multilineari (alternanti): un tensore di
ordine (k,l) � definito come la applicazione
T: V*xV*x...xV*xVxVx...V---->R k volte controvariante e l volte covariante;
ma questa � molto pi� complessa e sicuramente non serve agli scopi richiesti
(fra l'altro la sto ancora studiando:-))].
I tensori pi� s� definiti godono di certe propriet� che ne definiscono le
operazioni:
-Somma o sottrazione: T_abc... +/- G_abc..= C_abc...
-Moltiplicazione: A_abc...D_efg...= T_abc...efg... (tensore di ordine a+b se
b � l'ordine del tensore D)
-Contrazione: Si pu� ottenere un tensore di ordine a-2 a partire da un
tensore di ordine a se si uguagliano due indici e si somma su questo
T_r...=Somma\n A_nnr..=A_nnr... (con la convenzione della somma su due
indici uguali)
-Estensione: Si pu� costruire un tensore di ordine a+1 da un tensore di
ordine a con una operazione di derivazione T_abc...h= dB_abc../dx_h.
I tensori godono anche di propriet� di simmetria o antisimmetria rispetto
alla permutazione degli indici tale propriet� si dimostra essere
indipendente dal sistema di riferimento scelto nello spazio. Un tensore
veramente fondamentale � il tensore delta di kronecker (non so se si scrive
cos�).
Personalmente credo che le nozioni che puoi trovare su un libro di meccanica
razionale non necessitino strettamente di una buona conoscenza del calcolo
tensoriale, escludendo ovviamente il tensore d'inerzia e pochissime altre
cose (saltando a pie' pari la relativit� ristretta ma scommetterei che stai
studiando quel libro quasi solo per quello:-))), molto pi� importanti sono
invece le considerazioni di analisi matematica.

>... non ho capito fino
>in fondo cosa sia un gradiente: sono spiegate le operazioni, e come ci si
>lavora, ma non intravedo il significato. Sar� molto grato a chiunque abbia
>tempo da dedicarmi.
Allora facendo il 5� liceo sai benissimo cosa sia una funzione reale di
variabile reale, bene se questa funzione la fai dipenedere non da una sola
variabile x ma da un vettore (n-upla) di variabili x_i con i=1,2,...,n
appartenente a R_n ottieni una bella funzione di variabile vettoriale a
valori reali ovvero: f(x,y,z,..):R_n----->R che ad ogni vettore "x" associa
uno scalare reale. Di questa funzione f puoi (supposta f con un minimo di
regolarit�) considerare le derivate parziali prime df/dx_1, df/dx_2, ...,
df/dx_n tutte queste belle derivate le puoi ancora considerare come un
vettore di R_n; bene questo vettore non � niente popodimeno che il gradiente
Df della funzione f. L' importanza del gradiente � senz'altro ovvia sia in
analisi sia in meccanica, una cosa per tutte: grazie al gradiente puoi
esprimere un campo scalare in termini di campo vettoriale o (quando �
possibile) viceversa un campo vettoriale in termini di capo scalare ( es.:
il potenziale (scalare) del campo elettrico (vettoriale)). Ancora puoi
esprimere il differenziale df di una funzione f come il prodotto scalare tra
Df e il vettore "inceremento" dx infatti:
df=S_i(1..n) (d.pf/d.px_i)*dx_i = (Df,dx) dove (,) indica il
prodotto scalare in R_n.
Da considerazioni, peraltro banali, sulla derivata direzionale sempre della
solita funzione f si trova subito che la direzione di massimo accrescimento
della funzione f � proprio il suo gradiente (normalizzato ovviamente),
ovvero il gradiente � perpendicolare alle curve di livello della funzione f
(cosa veramente importante, come avrai letto infatti dallo studio delle
curve di livello nello spazio delle fasi si trovano le posizioni di
equilibrio del sistema dinamico --> analisi qualitativa).
Chiudo consigliandoti qualche libro su cui poter approfondire la tua fame
(io non ho mai avuto il coraggio di anticipare cos� i tempi, ma mi ritrovo
ora (2� anno del cdl in fisica) in una situazione analoga ma pi� generale):
se sai bene l'inglese il bellissimo lunghissimo Goldstein "classical
mechanics" (facile), se ti senti proprio pronto (prima magari gurdalo in una
biblioteca perch� questo � veramente tosto) Arnol'd "metodi matematici della
meccanica classica", Ferrarese,Satzi "lezioni di meccanica razionale".
Marcellini,Sbordone "Analisi matematica due" (solo per un occhiata alle
funzioni di pi� variabili).
Saluti
Adriano Amaricci
Received on Tue Apr 18 2000 - 00:00:00 CEST