Piccolo problema di Meccanica Statistica

From: Claudio <rofalorn_at_tin.it>
Date: 2000/03/18

Mi � capitato di imbattermi nel seguente problema, parte di uno scritto per
un concorso di dottorato a Pisa, e, pur sapendolo risolvere correttamente
(almeno credo), ci sono dei punti che non mi sono chiari.
E' molto semplice:
Considerare un sistema di N particelle distinguibili con uno spettro di
livelli per la singola particella En=a*n, con n=0,1,2,..., e degenerazione
uguale a n+1. Determinare l'energia media e l'entropia in funzione di a,N e
della temperatura T.

Per la risoluzione si scrive la funzione di partizione Z costruendo
l'insieme canonico per il sistema di N particelle distinguibili:
Z=(Somma per i=0..Infinito) g(i) * exp ( - u(i)/KT ), cio�:
Z=(Somma per i=0..Infinito) (1+i) * exp ( - a*i/KT ) che da:
Z=1/ (1-exp( -a/KT) )^2

A questo punto mi pongo la prima riflessione: � giusto parlare di insieme
canonico?
Non e' equivalente dire che Z � la funzione di partizione di un insieme
microcanonico dove N � fissato ed E (energia totale dipendente da T) �
anch'essa fissata e quindi la costruzione di Boltzmann individua in numero W
di complessioni che realizzano il generico stato di n1 particelle con
energia E1, n2 con E2,......... coi vincoli E=E1*n1+E2*n2....., n1+n2+....=N
?

Beh..., per la precisione, la costruzione andrebbe leggermente modificata:
il calcolo di W deve tener conto della degenerazione sui livelli energetici:
n i,1 con energia E i ; n i,2 con energia E i,........n i, i+1 con energia E
i....
cio� (somma da h=0 a g(i) di n i,k * g(i) ) particelle con energia Ei...

Poi: � stato assunto che le particelle sono distinguibili. Ogni dominio di
energia E i contiene (i+1) celle; credo che non si debbano distinguere le
configurazioni ottenute permutando le particelle all'interno della cella, e
vero? e all'interno del dominio? (credo che all'interno del dominio si
debbano invece distinguere)

Comunque, a parte queste considerazioni, la risoluzione � abbastanza
standard:
da Z si ricavano U ed S utilizzando le formule che si deducono dalla
costruzione di Boltzmann:

U = NK T^2 d/dT (log(Z))
S = NK d/dT ( T log Z )

e si ha:

U = 2 N*a / ( exp (a/KT) - 1 )
S = 2 N*a / T * 1 / ( exp (a/KT) - 1 ) - 2*N*K log ( 1 - exp (-a/kt) )

Ringrazio, in anticipo, chi mi voglia chiarire i dubbi e chi mi spiega il
significato fisico della funzione di partizione nell' "ensamble" canonico e
nell' "ensamble" microcanonico


Ciao, Claudio
Received on Sat Mar 18 2000 - 00:00:00 CET