Re: piccolo problema

From: Claudio Falorni <rofalorn_at_tin.it>
Date: 2000/03/06

> Qualcuno mi d� una mano:

OK!
Innanzitutto fissiamo gli elementi del problema:
Il ragazzo 1 parte dal lato SUD;
Il ragazzo 2 parte dal lato NORD;
Sia L la lunghezza (NORD-SUD) incognita;
Introduciamo l'asse x con origine nel lato SUD per descrivere il moto dei
due ragazzi;

Sono definiti due tempi caratteristici:
T1=L/v1 : tempo che impiega 1 per raggiungere la parte opposta (v1 � la
velocit� costante di 1)
T2=L/v2 : definito analogamente per 2.

Si ha:
x1(t)= v1 * t se t <= T1
x1(t)= L - v1 * (t-T1) se T1 <= t <= 2 * T1
e
x2(t)= L - v2 * t se t<= T2
x2(t)= v2 (t-T2) se T2<= t <= 2 * T2

Dato che 1 e 2 partono insieme (all'istante t=0) e vanno in direzioni
opposte, per l'istante del primo incontro tp si ha:
tp<min (T1,T2) e:
22 =v1 * tp = L - v2 * tp
da cui la relazione 22=L * (v1/(v1+v2))
(prima equazione)

ts sia l'istante del secondo incontro; si ha
ts>min (T1,T2) perch� almeno uno dei due ragazzi deve poter raggiungere
prima del secondo incontro il lato opposto
Per il secondo incontro sono possibili 3 casi:
a) T1<ts<T2 (1 ha finito la prima vasca e 2 no)
L-16=x1(ts)=x2(ts), cio�
L-16=L - v1 *(ts-l/v1)=L-v2 *ts

da cui L * (v2/(v1-v2)) = 16
Il problema pu� essere risolto con questa equazione e con la prima se
consideriamo come incognite L e solamente v1/(v1+v2). Si ha infatti
v2/(v1+v2) = 1 - v1/(v1+v2)
Il sistema fornisce l=29.7 (solo 1 slz. dell'eq. di 2^ grado).

b) T1<ts e T2<ts (1 e 2 hanno finito la prima vasca)
L-16=L - v1 *(ts-L/v1)=v2(ts-L/v2)
da cui 16=L * ( 3 * (v1/(v1+v2)) - 1 )
In questo caso quest'equazione, posta in sistema con quella iniziale,
fornisce L=50

c) T2<ts<T1 (2 ha finito la prima vasca e 1 no)
E' analogo al primo caso......scusa ma non mi fa voglia di fare il
conto....tanto ormai � chiaro...

Riflessione dal punto di vista fisico:
Dato che NON � richiesto il calcolo dei tempi, � importante capire che la
posizione dell'incontro dipende solo dal rapporto delle velocit� e non dai
loro valori (in quest'aspetto riconosco la difficolt� del problema che
sicuramente sfugge ad una prima veloce lettura...)
Quindi pu� sembrare di avere 3 incognite e 2 equazioni...,ma in realt� le
incognite sono due; esempio:
se v1=2 * v2 si ha subito
v1/(v1+v2) = 2/3 e v2/(v1+v2) = 1/3
Ovvero la slz � invariante per v1 ---> k *v1, v2 ---> k *v2
per ognuno dei 3 casi.

Saluti
Claudio Falorni
Received on Mon Mar 06 2000 - 00:00:00 CET