Re: equazioni differenziali II ordine

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/02/21

Darth Vader wrote:

> Il 16 Feb 2000 14:45:36 +0100, Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it> ha
> scritto:
>
> >> Non so come trovare le soluzioni particolari delle equaz. differenziali
> >> lineari non omogenee del II ordine a coefficienti costanti
> >Il metodo si generalizza ad equazioni a coefficienti costanti di ordine
> >arbitrario purche' tu conosca le radici del polinomio associato.
>
> Per l'integrale particolare della NON omogenea non va bene il discorso che fai,
> mi sembra.
>
> --
> >Darth Vader
> ICQ: 6486772 | FidoNet: 2:335/801.79
> [Darth.Vader(at)TiscaliNetDOTit]

Ciao, invece funziona, mi spiego meglio.

Prendiamo il caso del secondo ordine, tanto e' uguale

ay'' + by' + c = f

dato che a e' diverso da zero (VERO secondo ordine) dividiamo per a

y'' + (b/a)y' +(c/a) = f(x)/c

ovvero

D^2 y + (b/a)D y +(c/a) = f(x)/a

ovvero, tenedo conto che le derivate agendo su costanti producono il risultato
nullo

(D-s)(D-s') y = f(x)/a (1)

dove ho usato il fatto che s e s' sono le soluzioni di

X^2 + (b/a)X + c/a = 0 ovvero di aX^2 + bX + c = 0

e che se s e s' sono le soluzioni di sopra allora

aX^2 + bX + c = a(X-s)(X-s')

tornando alla (1) e chiamando z = (D-s') y si ha l'equazione del prim'ordine

z' + s = f(x)/c

ovvero

z = exp{-sx} [ int exp(+sx) f(x)/a dx + C ]

e il secondo membro lo posso indicare con

(1/a)[(D-s)^{-1} f ] (x)

Allora e' finita, dalla stessa 2 ho che


y = exp{-s'x} [ int exp(+s'x) z(x)/a dx + K ] = (D-s')^{-1} z

ovvero

y(x) = (1/a) [(D-s')^{-1} (D-s')^{-1} f](x)


La dimostrazione vale in generale e se l'equazione e', cob a_n diverso da 0

a_1 D^n y + a_2 D^{n-1} y + ....+ a_n = f

considerate le n soluzioni (complesse in generale) di

a_1 X^n + ...+ a_n = 0

s_1,..., s_n (alcune possono coincidere)

si ha con le notazioni di sopra

y(x) = (1/a_n) [(D-s_1)^{-1}..... (D-s_n)^{-1} f] (x)


[(D-c)^{-1} g] (x) significa

exp{-cx} [ int exp(+cx) g(x) dx + K ]


 Se negli "operatori" (D-s)^{-1} si lasciano le costanti indeterminate C
arbitrarie
 non si ottiene solo una soluzione particolare ma la soluzione completa
dell'equazione
 differenziale.


 Per definire i (D-c)^{-1} come operatori *lineari* basta ridefinirli per esempio

 come:


[(D-c)^{-1} g] (x) : = exp{-cx} integrale da 0 a x di exp(+cu) g(u) du


 In questo caso si ha una soluzione *particolare* quando si usa il marchingegno

Convinto ora?

Ciao, Valter
Received on Mon Feb 21 2000 - 00:00:00 CET