Re: PRBLEMINO DI FISICA

From: Franco <inewd_at_hotmail.com>
Date: 2000/01/24

Angelo Superti wrote:
>
> salve
> qualcuno mi sa risolvere questo problema ?
>
> "Un vagone ferroviario di massa m=800 kg in moto con velocit� di modulo
> v=0.05 m/s urta con i suoi respingenti contro quelli di un altro vagone , di
> massa m=600 kg , fermo sui binari . QAssimilando ogni respingente dei vagoni
> as una molla di costante elastica k = 100 N/m e trascurando tutti gli
> attriti , si determino :
> - la massima deformazione dei respingenti
> - la velocit� dei vagoni quando i respingenti sono di nuovo distesi . "
>
> rispondetemi a barone79_at_yahoo.com . Grazie .

Per motivi etico/religiosi non rispondo mai a indirizzi personali di
email. E dopo aver criticato un po' questo post, visto che nessuno ha
indicato la soluzione, avendo un po' di tempo nel w/e, provo a darla
qui di seguito.

Indico com x1 la coordinata della massa m1, posta inizialmente a
sinistra della massa m2 con coordinata x2 (x1<x2). La massa x1 si
sposta verso destra con velocita` v1, mentre la massa m2 e` ferma. I
due respingenti hanno lunghezza totale L, e coefficiente di
elasticita` k. Indico con x1 la variabile, x1p la sua derivata prima
rispetto al tempo, x1pp la derivata seconda. Le forze sono positive
quando sono dirette verso destra.

Le condizioni iniziali per cui scrivo le equazioni del problema sono
quando x2-x1=L, cioe` la molla comincia a comprimersi. Le soluzioni
trovate varranno finche' x2-x1<L, poi i respingenti si staccano e le
due masse non interagiscono piu`.

Equazione alla massa m1: m1*x1pp=-(L-(x2-x1))*k

L-(x2-x1) e` l'accorciamento della molla, proporzionale alla forza
applicata.

Equazione alla massa m2: m2*x2pp=(L-(x2-x1))*k

Si risolvono queste due equazioni e il gioco e` fatto! Da notare che
il sistema non e` del quarto ordine, ma solo del secondo, dopo
opportuno cambiamento di variabile.

Chiamo (L-(x2-x1)=D=x1-x2+L, e quindi si ha

x1pp=-D*k/m1 e x2pp=D*k/m2.

Sottraendo quest'ultima dalla precedente si ha

x1pp-x2pp=-k*D(1/m1+1/m2) cioe`, (x1-x2)pp=-k*D(1/m1+1/m2).

La derivata di una costante fa zero, e se sommo a x1-x2 la quantita`
L, ottengo

Dpp=-k*(1/m1+1/m2)D

e questa e` una equazione conosciuta,le cui soluzioni sono una
combinazione di seni e coseni, la cui pulsazione vale
omega=sqrt(k*(1/m1+1/m2)). Nel nostro caso di vagoni da 800 kg (eh
eh), omega=0.54 s^-1, e il periodo di oscillazione vale 11.6 s.

Le condizioni iniziali sono D(0)=0 (la molla all'istante di contatto
non ha ancora iniziato a deformarsi), e Dp(0)=v1. La soluzione e` di
tipo Dmax*SIN(omega t) (non c'e' il termine in coseno per la
condizione iniziale su D), e il valore di Dmax lo si ricava dalla
condizione iniziale sulla derivata prima al tempo zero:

Dmax*omega*COS(omega*0)=v1 cioe` Dmax=v1/omega=92.6 mm,

e questa sara` la deformazione massima delle molle.

Per trovare le velcita` finali, quando le molle sono distese, puoi
tornare indietro per le equazioni e determinare x1p e x2p quando le
molle si distendono, cioe` quando l'argomento di Dmax*SIN(omega t)
vale pi, che e` tanto come dire dopo meta` periodo di oscillazione
(t=5.8s), oppure, *molto* meglio, l'urto e` elastico, e quindi con la
conservazione dell'energia cinetica e della quantita` di moto ricavi
le velocita` finali.

Ciao

Franco
Received on Mon Jan 24 2000 - 00:00:00 CET