In article <85ralk$44p$1_at_pegasus.tiscalinet.it>,
"FRANCESCO SARNARI" <frasarn_at_tiscalinet.it> wrote:
Con l'occasione avrei una ulteriore questione da discutere insieme:
ricordi
> il problema che ponevo sulla compattezza dell'operatore integrale di
> Volterra? Forse � veramente banale, ma non sono riuscito a far vedere che se
> B � un sottoinsieme limitato di C(0,1], la chiusura di T(B) � costituita da
> un insieme di funzioni equicontinue ed eqiulimitate. Poi c'� quel problemino
> del raggio spettrale.....come si mostra che il risolvente di B include il
> risolvente di A?
> Ti ringrazio ancora in anticipo per il prezioso aiuto.
> Ciao, Francesco
>
Bene ho un po' di tempo, e rispondo alla prima questione, per la seconda
dovrai aspettare, ma contiunua a pensarci che fa sempre bene.
Dobbiamo provare che il tuo operatore T: C(0,1] -> C(0,1] (norma sup)
e' compatto. Questo equivale a dire che per ogni sottoinsieme limitato B
di C(0,1], T(B) ha chiusura compatta (nella norma sup).
Ti ho gia' provato che in realta' l'immagine di T e' in C[0,1], allora
provero' che se B sottoinsieme di C(0,1] e' limitato, allora T(B) e'
uniformemente limitato ed equicontinuo. Dato che T(B) e' in C[0,1]
possiamo applicare ascoli-arzela'che vale su questo spazio di Banach
che nelle due ipotesi dette (uniforme limitatezza ed equicontinuita' di
T(B)) assicura che la chiusura di T(B) e' compatta e questo conclude
la dimostrazione dato che B era generico.
Sia qunque B sottoinsieme limitato (nella norma sup) di C(0,1].
L'operatore e' dato da, se f e' in B o anche fuori,
(Tf)(x) = integrale da 0 a 1 di G(x,y) f(y) dy
dove G(x,y) e' nulla per y>x e continua nel triangolo chiuso e limitato
di
R^2: y minore o uguale a x e x appartenente a [0,1].
(Guarda in uno dei miei primi post dove trasformavo l'integrale da 0 a x
in un integrale da 0 a 1.)
Se guardi come costruivo G vedi che e' anche una funzione limitata su
[0,1] x [0,1] perche' dove non vale zero e' continua su un compatto
(allora esistono massimo e minimo per weierstrass).
Sia dunque M = Sup|G(x,y)| su [0,1] x[0,1].
*LImitatezza uniforme.
Dato che B e' limitato, ci sara' un N>0 tale che se f e' in B sup |f| <
N
indipenentemente da f, allora ( <= significa "minore o uguale" )
|Tf(x)| <= integ. da 0 a 1 di M N dy <= M N < +oo
quindi |T(B)| e' un insieme uniformemente limitato di funzioni in
C[0,1].
*Equicontinuita'.
Prendiamo T e B come sopra. Dobbiamo mostrare che se g e' in T(B) e x,x'
in [0,1], allora, indipendentemente da g,x,x', per ogni e>o esite un d>0
tale che |g(x) - g(x')| < e se |x-x'|<d.
Procediamo.
Se g e' in B sara' del tipo g = integ. da 0 a 1 di G(x,y) f(y) dy
con f in B, allora
|g(x) -g(x')| <= int_0^1 |G(x,y)-G(x',y)| |f(y)| dy
<= N int_0^1 |G(x,y)-G(x',y)| dy (1)
Ora nota che |G(x,y) - G(x',y)| <2M per ogni x,x' e y e quindi, come
funzioni di y, la classe di funzioni di y *etichettate* dalle coppie
(x,x') definite da
y |->|G(x,y)- G(x',y)|
sono tutte limitate in modulo dalla funzione costante che vale 2M su
[0,1] ed e' quindi e' integrabile su [0,1] in y.
Abbiamo dunque una successione di funzioni parametrizzate nell'indice
continuo (x,x')
h_{x,x'}(y) = |G(x,y)-G(x',y)|
Queste funzioni sono misurabili in y e maggiorate da una funzione
y-integrabile e ancora vale:
h_{x,x'}(y) -> h_{l,l'}(y) per (x,x') -> (l,l'),
dove l,l' sono numeri arbitrari di [0,1]
Il limite detto vale *quasi ovunque* in y su [0,1].
(Infatti fissati l e l' gli unici due punti dove il limite non vale sono
per y=l e y = l', basta fare il disegno per vederlo).
Puoi allora applicare il teorema della *convergenza dominanta di
Lebesgue*
e puoi passare il segno di limite sotto l'integrale e cio'
ti assicura tra le altre cose che la funzione di (x,x') in R:
(x,x') |-> integrale da 0 a1 di |G(x,y)-G(x',y)| dy
e' una funzione *continua* su [0,1] x [O,1]. In particolare varra'
anche,
dato che il dominio di questa funzione e' *compatto*, che la
funzione detta e' *uniformemente continua*.
E quindi in particolare:
per ogni e'>0 c'e' un d>0, che NON dipende da x e x', tale che, se
|x-x'|<d allora
|integ. da 0 a 1 di |G(x,y)-G(x',y)| dy| < e'
Sostituendo in (1) e chiamando e=Ne', si ha che per ogni e>0 esiste un
d>0
tale che se g e' in T(B) allora |g(x)-g(x')| < e indipendnentemente da
g,
x e x' purche' |x-x'|<d. E questa e' l'equicontinuita'di T(B).
Quindi per ascoli-arzela' T(B) ha chiusura compatta e T e' per
definizione
compatto.
Ciao, Valter
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Received on Mon Jan 17 2000 - 00:00:00 CET