Re: R: R: Doppia laurea

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/20

Enrico SMARGIASSI wrote:
>
> Valter Moretti wrote:
>
> > In realta' ci sono almeno due altre situazioni standard dove si usa
> > la teoria di Lebesgue e i fisici si imbattono molto spesso con tali
> > situazioni senza accorgersene. [etc.]
>
> Ti ringrazio per l'intervento sempre preciso e puntuale. Non credo
> pero' che muti la sostanza di quello che ho detto: sono perfettamente
> d'accordo che bisogni avere sotto controllo gli strumenti con i quali si
> opera, ma quando si va ad insegnare agli studenti bisogna
> necessariamente fare delle scelte. Queste scelte sono implicitamente
> fatte moltissime volte nel corso di laurea: tanto per fare un esempio,
> quando si dimostra l'equivalenza della formulazione differenziale o
> integrale delle eq. di Maxwell, passando come schiacciasassi sopra tutte
> le ipotesi ed i punti sottili di tale dimostrazione. Certo sarebbe bello
> conoscere quando e perche' si puo' fare, ma quanto durerebbe il corso di
> Fisica II?
>

Hai ragione, infatti non credo che bisogna dirlo in fisica II, ma in
metodi matematici della fisica.



> Il fatto che l'int. di Lebesgue si usi "senza accorgersene" mi dice
> che e' un candidato per essere lasciato da parte.

Non sono d'accordo: si usa "senza accorgersene" in casi
ben noti dove e' ben noto che tutto funziona, ma quando uno fa ricerca
si imbatte spesso in casi non-standard dove bisogna rimboccarsi le
maniche e capire a fondo quello che e' possibile fare e quello che non
e' possibile fare. Certo, esistono molti modi di procedere, normalmente
(ma NON semmpre) quando si prendono scorciatoie matematiche sbagliate
in un problema fisico, alla fine si trovano delle patologie fisiche
evidenti, ma ripeto, non e' sempre cosi'.
Quindi, secondo me, uno studente futuro fisico teorico dovrebbe sapere
almeno gli enunciati esatti o almeno che esistono da qualche parte.
Certo lasciare tutta la didattica di queste cose ai matematici e' un po'
pericoloso perche' loro non sanno molto bene cosa serva ad un fisico
e tendono ad insegnare tutto a tappeto e ponendo l'accento (o usando
approcci) su cose diverse da quelle su cui porrebbe l'accento un fisico,
e i corsi tenderebbero ad esplodere. Ma non e' nemmeno corretto
l'atteggiamento del "fisico quadratico medio" che pensa che "tutto puo'
andare bene" in matematica.
Per questo motivo dicevo che certe cose si divrebbero fare *seriamente*
nei corsi di Metodi Matematici della Fisica. Purtroppo pero' da diversi
anni c'e' la tendenza in Italia ad usare questo corso come parcheggio
per i fisici teorici (campisti o particellari) che NON sono fisici
matematici e tendono un po' a fare le cose nel modo di cui sopra, piu'
per esperienza personale che per cultura matematica acquisita, insegnado
cose che nel loro campo funzionano, ma che in generale sono sbagliate e
non e' detto che gli studenti lavoreranno nello stesso campo, per cui
alla fine avranno imparato per lo piu' "pregiudizi". (Non voglio fare
nomi qui, ma c'e' un libro italiano di "metodo matematici per la fisica"
scritto da fisici non fisici-matematici, che contiene qualche
castroneria che sarebbe da incorniciare, anche su argomenti elementari
come la teoria delle funzioni a variabile complessa...)


> > Questo e' molto interessante! Cerchero' il libro, grazie dell'
> > informazione. Di che anno e'?
>
> 1978 il primo volume, che e' quello rilevante qui (il secondo e'
> dell'81).
>

Ti ringrazio dell'informazione.


> Postilla: ma il caso degli integrali impropri non e' uno di quelli in
> cui esistono funzioni integrabili secondo Riemann ma non secondo
> Lebesgue?
>


Per qullo che conosco, la questione e' la seguente: ci sono funzioni non
integrabili secondo Riemann, ma integrabili secondo Riemann se se ne
estende la definizione considerando *limiti* di veri integrali di
Riemann ben definiti. Tuttavia in tali casi e' necessario provare che il
limite non dipende dalla procedura usata, SOLO SE tale *indipendenza*
sussiste allora si parla di "integrale improprio alla Riemann".

Pero' se la funzione e' sommabile secondo Lebesgue (e per verificarlo
bisogna *conoscere* ed applicare la definizione di sommabilita' secondo
Lebesgue), si puo' essere certi (sotto comuni ipotesi) che il limite di
cui sopra N0N dipende dalla procedura (e coincide con l'integrale di
Lebesgue).

Ci sono casi in cui una funzione NON e' integrabile secondo Lebesgue, ma
qualche tipo di limite dell'integrale di Riemann esiste finito e serve
in fisica. Si otterrebbero pero' risultati diversi usando altre
procedure. Il tipico caso e' il calcolo "nel senso del valore principale
(di Cauchy)". La funzione 1/x in [-1,1] non e' sommabile secondo
Lebesgue, ma il suo calcolo dell'intrgrale (improprio) di Riemann nel
senso del valore principale esiste ed e' nullo. E' facilissimo pero'
provare che il risultato dipende da come si esegue il limite...

Non conosco situazioni in cui una funzione e' impropriamente integrabile
secondo Riemann (cioe' tutte le procedure di limite dell'integrale di
Riemann forniscono lo stesso risultato), ma non e' sommabile secondo
Lebesgue. Ma forse esistono!

Ciao, Valter
Received on Mon Dec 20 1999 - 00:00:00 CET