Re: propagazione nel vuoto (continua)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/29

chicco corb wrote:
> il concetto e` che su uno spazio-tempo curvo la determinazione
> dello stato di vuoto dipende dall'osservatore. se cambi il sistema di coordinate
> ti trovi un'altro stato di vuoto e il vuoto precedente non e` piu` annichilito
> dal sistema precedente. per determinare uno stato di vuoto ragionevole
> usualmente si applicano condizioni "esterne", tipo condizione di hadamard,
> condizione adiabatica (vedi birrel e davies).
> diverso e` il discorso se lo spazio-tempo e` massimamente simmetrico. in questo
> caso ogni osservatore vede il vuoto come vuoto, pero` anche in questo caso
> c'e` liberta` nella determinazione del vuoto e bisogna comnunque ricorrere
> a condizioni esterne.
> comunque il concetto di particella su uno spazio-tempo curvo e` molto ambiguo.
> anche divertente, direi. come ho detto prima rimando gli interessati alla
> lettura del birrel e davies.


Ciao, permettimi qualche piccola osservazione, anche per rispondere in
modo un po' piu' completo (o almeno dare un'idea) a Elio su cosa diavolo
sia e quali siano i problemi aperti della QFT in curved spacetime.

In realta' non c'e' alcun modo
generale di associare stati di vuoto ad "osservatori" o "sistemi di
coordinate". Si riesce a fare qualcosa di piu'debole o forte a seconda
dei punti di vista. Gli stati di vuoto vengono associati a campi di
vettori di Killing con la condizione che gli stati restino "invariati"
sotto l'azione del gruppo di isometrie associate ai vettori (e cio'
non definisce in modo univoco gli stati!).
Poi ci sono osservatori p�articolari che ammettono delle linee integrali
ai campi di Killing come (alcune delle) coordinate, solo in *questo
senso* c'e' un legame tra stati di vuoto e osservatori o coordinate.
Costruendo le particelle il generatore dell'azione della simmetria
considerata su una particella si puo' pensare come una pseudo-energia
se il vettore di Killing era temporale o un pseudoimpulso se e' spaziale
o cose simili a seconda dell'algebra di Lie se ci sono piu' vettori di
Killing. Poi ci sono distinzioni fini tra stati di vuoto (che possono
anche essere "termici" cioe' KMS) e stati fondamentali
(vedi il celebre Physics Report di Kay & Wald del 91 o 92)...
Quando la varieta' e' massimalmente simmetrica allora, come
correttamente affermi, accade qualcosa di analogo a quanto accade nello
spazio di Minkowski: e' possibile definire dei vuoti invarianti sotto un
gruppo completo di isometrie e per tutti gli osservatori connessi dal
gruppo delle isometrie (e solo quelli!!!) il concetto di particella (e
numero di particelle) e' assoluto quando e' riferito a quel vuoto. Pero'
ci sono anche qui dei problemi, per esempio se ricordo bene lo spazio di
deSitter ammette due possibili stati di vuoto invarianti sotto tutte le
isometrie...
Quando non ci sono gruppi di isometrie non c'e' proprio niente da fare
per scegliere uno stato piuttosto che un altro e conviene rinunciare al
concetto di particella.
La condizione di Hadamard che tu citi, invece e' una condizione locale
che serve a ridurre il numero degli stati fisicamente ammissibili
(algebrici! ricordo che bisogna lavorare a livello di C*-algebre per
fare bene queste cose) dicendo che questi o meglio le loro funzioni di
Wightman a due punti devono avere un particolare comportamento per punti
"vicini", questo comportamento e' quello che ci si aspetta pensando che
lo spazio tenda a diventare sempre piu' piatto per piccole distanze.
In piu' la condizione di Hadamard assicura (ma e' solo sufficiente)
che il tensore energia impulso mediato su questi stati sia
rinormalizzabile secondo la procedura del "point-splitting" che e' nota
rispettare gli assiomi di Wald (ma e' piu' forte di questi a causa del
minor numero di controtermini che vengono fuori rispetto a quelli
ammessi da Wald).
In realta' c'e' una vastissima letteratura sulla condizione di Hadamard
e ne esistono diverse definizioni non sempre equivalenti, ne ho discusso
direttamente con Bernard Kay e, molto meno, con Bob Wald.
In tutta franchezza io NON sono nemmeno certo che alla luce della
definizione data sul Phys. Rep. di sopra stati di Hadamard esistono
in una generica varieta' spaziotemporale.
C'e' un teorema di Verch che assicura che addirittura esistono e formano
un insieme denso nello spazio degli stati algebrici, ma non e' chiaro
(almeno a me) quale definizione e' stata usata.
Poi c'e' il problema della simmetria dei coefficienti dello sviluppo
di Seeley-deWitt (che conoscerai bene visto che parli di condizioni
adiabatiche) che e' stato fondamentale nel provare che se uno stato
e' di Hadamard ad un certo "istante" lo e' per sempre (teorema di
Fulling-Sweeny-Wald pubblicato su Commun. Math. Phys. a meta' degli anni
80 quindi prima della definizione odierna che e' del 91-92 data nel
report di sopra, ma Kay mi ha assicurato che il teorema funziona anche
con la nuova definizione). La stessa proprieta' e' fondamentale per
provare che il tensore energia impulso rinormalizzato con il
point-splitting e' conservato (vedi ultimo libro di Wald sulla QFT in
curved spacetime). La simmetria di tali coefficienti e' stata
presa per assunto e tutti si sono di fatto dimenticati di provarla
per piu' di 20 anni (alla fine l'ho fatto io in due anni di lavoro dopo
diverse discussioni con Kay, Wald, Avramidi, Giampiero Esposito e gente
di quel calibro su due articoli su Commun. Math. Phys.). Come vedi
ci sono ancora molte cose da fare e non tutto quello che si dice essere
stato provato (specialmente sul Birrell&Davies) lo e' stato fatto
davvero.
Poi c'e' il problema della formulazione euclidea con al quale ho
lavorato per alcuni anni: le tecniche piu' eleganti di rinormalizzazione
basate sulla zeta-function spettrale funzionano solo su varieta'
euclidee, e la rotazione di Wick si riesce a fare solo consistentemente
e globalemnte in spaziotempi "statici" rispetto al vuoto statico
ottenuto da qualche estensione autoaggiunta dell'operatore euclideo del
moto (questa estensione e' unica se la varieta' e' compatta). La
rotazione di Wick
sui tensori E-I euclidei rinormalizzati con la zeta function in questi
casi produce lo stesso risultato del point-splitting Lorentziano (c'e'
un miuo recente articolo su J. Math. Phys. e un'altro su Commn. Math.
Phys. dove provo queste cose) e ne fornisce una versione migliorata
perche' determina completamente il termine che fornisce l'anomalia
conforme. Questa versione improved del point-splitting dovrebbe
funzionare anche se la sezione spaziale della varieta' non e' compatta
ma non ho mai avuto tempo di provarlo, (sarebbe un bell'argomento per
una tesi!). Recentemente ho capito che e' possibile definire
una rotazione di Wick anche se la varieta' non e' statica, ma non ho
ancora capito come si possa usare fisicamente (eccetto per una
applicazione...).

 Ciao, e auguri per la tesi! Ma dove e con chi la stai facendo??

Valter
Received on Wed Dec 29 1999 - 00:00:00 CET