Re: R: R: Doppia laurea

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/16

Enrico SMARGIASSI wrote:
>
> In realta' devo ancora trovare un fisico che ha usato l'integrale di
> Lebesgue per un calcolo "vero", nel senso che quando nella pratica ci si
> trova a dover calcolare un integrale si puo' sempre usare Riemann (e se
> non si puo', non si usa nemmeno Lebesgue). L'integrale di Lebesgue si
> usa solo per dimostrare teoremi: in particolare l'importantissimo
> teorema che gli spazi L2 sono completi, senza di cui il formalismo
> della Meccanica Quantistica non funziona. Anzi, direi che per il 99%
> dei fisici questo teorema e' l' unico punto in cui s'incontra l' i. di
> L..
>

Dato che hai chiesto commenti ecco i miei :-)

In realta' ci sono almeno due altre situazioni standard dove si usa
la teoria di Lebesgue e i fisici si imbattono molto spesso con tali
situazioni senza accorgersene.

1) Tutte le volte che si lavora con integrali "impropri", nel senso che
o la funzione diverge in qualche punto, oppure il dominio e' infinito,
se uno volesse usare il povero integrale di Riemann "improprio" dovrebbe
anche dimostrare che il risultato non dipende dal modo con cui si
"invade" il dominio di integrazione. Ora, se la funzione e'
sommabile SECONDO LEBESGUE, il teorema della convergenza dominata
di Lebesgue ti assicura che tale indipendenza sussiste. Di fatto i
fisici se ne fregano di dimostrare l'indipendenza, ma solo perche'
in realta' stanno lavorando con funzioni sommabili secondo Lebesgue.
Quando questo non succede ci sono quasi sempre delle patologie di
carattere fisico nel problema (parlo per esperienza personale)

2) Quando si passano i segni di limite e di derivazione rispetto a
qualche parametro o si scambiano simboli si serie con integrali e
maleffatte simili... I fisici fanno molto spesso queste cose,
l'unica teoria decente che permette di avere delle ipotesi ragionevoli
per fare queste cose e' quella dell'integrale di Lebesgue (+ teoremi
annessi come Fubini-Tonelli). Dimostrare queste cose con l'integrale di
Riemann e' una fatica immensa e in genere si riesce a dire qualcosa
con ipotesi troppo forti inutili in pratica. Anche qui i fisici non lo
sanno, ma l'integrale che in realta' stanno usando e' quello di Lebesgue
perche' se le funzioni usate fossero integrabili SOLO secondo Riemann
tante belle cose del tipo di quelle di sopra non si farebbero proprio.


Io nel mio lavoro di fisico-matematico uso in pratica sempre e solo
l'integrale di Lebesgue, senza di esso non potrei lavorare!


C'e' poi un altro caso molto interessante, che si dimostra usando
l'integrazione di Lebesgue in cui mi sono imbattuto spesso.
Mi metto nel caso piu' semplice,
se tu hai una funzione continua f(x,y) di due variabili definita su un
aperto di R^2 che e' infinitamente differenziabile SEPARATAMENTE nelle
due variabili in tutti i punti (cioe' tieni fissa una variabile e
esistono le derivate ad ogni ordine nell'altra in tutti i punti e
viceversa) allora e' infinitamente differenziabile
(cioe' esistono anche tutte le derivate *miste* di ogni ordine).
Questo fatto non e' per niente ovvio e mi e' capitato di usarlo un
mucchio di volte. La dimostrazione si basa su un lemma di Sobolev che
usa pesantemente l'integrabilita' di Lebesgue locale della funzione.
Il teorema si puo' indebolire abbassando l'ordine di esistenza delle
derivate e considerando derivate in senso distribuzionale che pero'
devono risultare essere funzioni localmente integrabili secondo
Lebesgue!


> Tanto piu' che il problema si puo' aggirare: esiste una formulazione
> della MQ, non molto
> diversa dalla solita, in cui l'i.di L. non si vede mai (in compenso si
> deve introdurre la teoria delle distribuzioni, ma questa andrebbe
> studiata comunque). Vedi Richtmyer, "Principles of Advanced
> Mathematical Physics", edito Springer.
>


Questo e' molto interessante! Cerchero' il libro, grazie dell'
informazione. Di che anno e'?

Ciao, Valter Moretti
Received on Thu Dec 16 1999 - 00:00:00 CET