Re: Dubbio amletico di GR

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/10

Joe Oblivian wrote:
>
> Studiando per la tesi ho notato che nella letteratura si tratta il
> campo gravitazionale prodotto da una stella di densita' interna
> epsilon=cost come un campo si Schwarzschild. Ora, nel tensore di
> riemann si trova la derivata seconda radiale di
>
> g=(1- 2M/r)
>
> ove M risulta una funzione di r cosi' definita:
>
> / (4/3) * pi * r^3 * epsilon per r<R
> |
> \ (4/3) * pi * R^3 * epsilon
>
> (R e' naturalmente il raggio della stella)
>
> Il mio problema e' che la derivata seconda di g non e' definita per
> r=R, e quindi il tensore di riemann risulta non definito sulla
> ipersuperficie R=r!
>
> Questo mi sembra inaccettabile, ed allora le possibilita' sono due:
>
> 1) In tutta la letteratura si trascura questo problema (ma ci deve
> essere una giustificazione, non si puo' fare cosi' in maniera
> arbitraria).
>
> 2) Ho sbagliato qualcosa (probabilmente di molto stupido).
>
> Sarei molto grato a chi mi desse qualsiasi suggerimento.

Ciao, non mi sono mai occupato della questione particolare, ma ti faccio
notare che se non esistono le derivate seconde delle COMPONENTI della
metrica NON e' detto che il tensore di curvatura sia singolare.
Potrebbe semplicemente essere che in realta' le coordinate che stai
usando siano valide per r<R e r>R ma non per r=R. Cioe' dovresti
trovare delle coordinate definite nell'intorno di R in cui il tensore
metrico e' smooth. La stessa cosa accade quando R=O e M e' diverso da
zero, cioe' per un buco nero. Sul raggio di Schwarzschild la metrica
in componenti e' singolare, ma il tensore metrico invece NON lo e'
(questo si prova proprio costruendo coordinate interpolatrici in cui
le componenti della metrica sono smooth, per es. le coordinate di
Kruskal, che saltano l'apparente singolarita').

Per controllare che ci sia una reale singolarita' della metrica ti
conviene considerare degli scalari, che per loro natura non dipen,dono
dalle coordinate, per esempio lo scalare di curvatura o il "quadrato"
del tensore di Ricci scalare o altri scalari ottenuti con il tensore di
Riemann, e fare il limite per r->R, dalle due parti: non dovresti
trovare differenze o singolarita', se invece le trovi significa che la
metrica e' davvero singolare e non esistono coordinate che salvino la
situazione.

Ti faccio notare per esempio che, nel tuo caso, lo scalare di curvatura
e' nullo ovunque (r > o < R) e la stessa cosa accade con il quadrato
scalare del tensore di Ricci (essendo ovunque la metrica di
Schwarzschild e quindi "Ricci flat") e questo e' un buon segno perche'
anche il limite dalle due parti verso R sara' nullo...
In definitiva io credo con ragionevole certezza che ci siano delle
coordinate interpolatrici e che non ci sia una vera singolarita'
della metrica.


Ciao, Valter Moretti
Received on Fri Dec 10 1999 - 00:00:00 CET