Re: testo

From: Vilnius Nastavniek <marco_at_astr16pi.difi.unipi.it>
Date: 1999/11/16

>
> Angelo Picoco <a_picoco_at_yahoo.com> wrote in message
> news:19991108221423.15934.rocketmail_at_web308.mail.yahoo.com...
> >
> > Come si potrebbe calcolare il limite per n-->infinito
> > di (1+1/n^2)^n utilizzando metodi elementari ? E' un
> > esercizio per studenti di liceo scientifico il cui
> > risultato dovrebbe essere 1 secondo il testo. Secondo
> > me la successione indeterminata e il limite non
> > dovrebbe esistere.
> > Ringrazio per l'aiuto.
> > lillo
> >


On 13 Nov 1999, Don-K-boy wrote:

> basti sostituire alla n il valore di infinito, cosicche'
> 1/n^2 diventa un numero che tende a zero.

Non basta perche la forma 0^infinito non e` determinata

On 13 Nov 1999, Andy Poli wrote:

>
> Provare scrittura lim n-->infinito (1+1/n^2)^n , come
> lim n-->infinito (x+y)^n,
> allora si espandono usando il teorema binomiale.
>
> Dopo la valutazione dei termini adatti trovo il limite fa 1.
>

Non fa o^infinito e quindi indeterminato.


On 13 Nov 1999, Mino Saccone wrote:

>
> Metodo sperimentale!
>
> n (1+1/n^2)^n
>
> 1 2.000000
> 10 1.104622
> 100 1.010050
> 1000 1.001000
> 10000 1.000100
> 100000 1.000010
> 1000000 1.000001
> 10000000 1.000000
> 100000000 1.000000
>

Il metodo "sperimentale" puo` dare una `idea` di come vedano le cose, ma
certo non puo` essere una prova o una dimostrazione.
Ci sono proprieta` vere per n<1000000 e false per l`n successivo.
Oppure esistono proprieta` vere per `quasi` tutti i numeri,
cioe` per un insieme di numeri che differisce dal totale per un insieme di
misura nulla.
Ma dal punto di vista matematico tali proprieta` non sono dimostrate
essere vere.
Mi ricordo che anni fa alla prova di maturita` di non so quale scuola
venne presa per buona la soluzione iterativa:
La proprieta` P (di cui non ricordo null`altro) e' vera per:
m+1,n+2,n+3 etc e quindi si puo` vedere che e` vera sempre!!!!!!!



On 13 Nov 1999, Enrico Maria Giordano wrote:

>
> Invece proprio uno. Il termine 1/n^2 al crescere di n diventa sempre
> pi piccolo fino ad essere trascurabile rispetto all'uno.
>
  
Stesso problema di Don-K-boy.

On 13 Nov 1999, Pasquale Federico Zema wrote:

> un metodo potrebbe essere il seguente: consideri la
> successione dei logaritmi, ossia di n*ln(1+1/n^2); quando n e'
abbastanza
> grande, sviluppi il logaritmo in serie, consideri solo il primo termine
> (gli altri vanno a zero piu' facilmente) e ottieni cosi' la successione
> 1/n che tende a zero, quindi la successione di partenza tende a "e"
> elevato a zero, ossia uno.
                                          
Il limite si basa sulla definizione di e (numero di Nepero) che si
dimostra essere ugualea

lim n->inf (1+1/n)^n.

E` quindi necessario riportare tutto a questa formula.
Nell`integrale iniziale si sostituisce m=n^2.
L`esponente diventa m/n con m->inf.
I termini con m tendono ad e (Nepero) e all`esponente resta 1/n che tende
a 0.
Alla fine si riottiene il risultato dato da Federico.

Se invece di calcolare si volesse dimostrare che tale limite e` 1 allora
dovremmo far ricorso alla definizione di limite con gli epsilon, i perogni
ed i delta dimostrando che e` sempre possibile prendere un intorno i
infinito (cioe` n maggiori di un nsegnato) per cui la funzione di cui si
calcola il limite cade in un intervallo intorno a 1.
E questo in effetti si fa.

                        Marco
Received on Tue Nov 16 1999 - 00:00:00 CET