Re: Statistica di Fermi-Dirac espressa con k

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it>
Date: Tue, 21 Feb 2023 18:06:45 +0100

Il 21/02/23 17:00, Philip Pirrip ha scritto:
> Salve,
>
> su un articolo ho trovato la statistica di Fermi-Dirac espressa con k, cioè il vettore d'onda dell'elettrone che occupa un dato livello energetico.
>
> Volevo chiedere se ciò è possibile. Io la conoscevo in termini di f(E), dove E è l'energia, e non nella forma f(k).

Immagino che per "statistica di FD" tu intenda (e rappresenti con f) il
numero medio di occupazione di uno stato di singola particella di un gas
di Fermi non interagente.

In senso stretto f non è funzione di E e neanche di k. Essendo fermioni
c'e' uno spin semiintero. Quindi gli stati di singola particella
dipendono dal vettore k (\vec k) e dalla proiezione dello spin lungo un
asse (il solito sz, per semplicità). Per un sistema non relativistico e
in assenza di campi magnetici, gli autovalori dell' energia sono

E(\vec k, sz) = k^2/(2*m)

con una degenerazione doppia in caso di spin 1/2 (quadrupla per spin 3/2
etc) e anche una degenrazione per tutti i k con lo stesso modulo.
La degenerazione può essere inglobata nella densità degli stati,
lasciando a f di rappresentale l'occupazione media del singolo stato.
Siccome però questa depende dall'autovalre dell'energia di singola
particella potrà essere scritta indifferentemente come

f(E(\vec k, sz)) = 1/(exp(\beta E(\vec k, sz)) +1) o anche semplicemente
   1/(exp(\beta E) +1)
se viene moltiplicata per la densità degli stati in energia g(E)

oppure

f(k,sz) = 1/(exp(\beta k^2 /(2*m)) +1)

Sono la stessa cosa. Quello che è importante è invece mantenere chiara
la differenza tra "stato" e livello energetico.

Giorgio
Received on Tue Feb 21 2023 - 18:06:45 CET