R: Fisica nei conduttori elettrici!

From: Elio Fabri <mcq8827_at_mcqlink.it>
Date: 1999/11/08

Maurizio Bonfanti ha scritto:
> Elio Fabri ha scritto:
>> Non ci vuole molto a fare il calcolo: per elettroni accelerati con
>> una d.d.p. di 20 kV (lo spazio non importa) la velocita' finale e'
>> circa 0.27 c.
> .... come suggerisce, immagino, l'antico (ma sempre rispettabile)
> proverbio sulla conservazione dell'energia.
Si' pur di tener conto delle correzioni relativistiche.

> In un monitor i kV non sono neppure 20 ma sono piu' vicini alla
> meta'.
Io pensavo al cinescopio TV, dove credo che siamo vicini ai 20 kV, o
forse anche oltre. Sbaglio?

> La mia (brutale) domanda pero' rimane: a simili velocita' e'
> possibile giustificare, mediante la relativita', il fatto che le
> forze coulombiane di repulsione sembrino perfettamente
> controbilanciate (il fascio non si espande o non si "cavita")?
No. La forza resta sempre repulsiva.
Il fatto che il fascio non si allarghi credo sia in parte questione di
tempo, e in parte sia compensato dalla focalizzazione.
Questioni di ottica elettronica: non ne so molto...
Comunque, vedi dopo.

> E, in tal caso, per inciso, poiche' nel passaggio da un punto
> all'altro del campo fino a raggiungere tali velocita', avverrebbero
> trasformazioni di massa in energia, il calcolo secondo l'antico
> proverbio e' ancora del tutto valido, dato che la massa all'impatto
> non e' piu' quella di partenza?
Io non mi esprimerei cosi', per ragioni che ho spiegato piu' volte nel
NG e percio' non vorrei ripetere.
Sta di fatto, come dicevo sopra, che delle "correzioni relativistiche"
ci sono: la formula dell'energia cinetica relativistica e' diversa da
quella newtoniana, e il risultato pratico e' che a parita' di d.d.p. la
velocita' finale e' minore (poco minore, finche' si resta a questi
potenziali).

> Infine, altra domanda indiscreta: se l'elettrone nel suo viaggio
> ha perduto sensibilmente massa, che ne e' della sua carica, e che
> cosa circola nel circuito di placca?
Niente paura: non si perde niente.
Una volta frenato nella placca, l'elettrone e' del tutto identico a
quello che era all'inizio, da tutti i punti di vista.

> In altri termini, tenuto conto delle metamorfosi relativistiche
> (variazioni di massa e presumibilmente di carica), il gemello che
> torna a casa dopo aver viaggiato alla velocita' della luce, e'
> ancora un fratello, soltanto rimasto piu' giovane per via dei
> problemi del suo orologio, oppure e' qualcos'altro cui neppure sua
> madre placca darebbe il suo cognome?
Nessun problema: la mamma lo riconoscera' certamente.
Tutte le particelle che lo costituiscono non subiscono nessun
cambiamento.

> Malgrado l'apparenza, � una domanda seria, dato che l'emissione di
> radiazioni rende improbabile una ricostituzione dell'originale solo
> con il rallentamento.
No: l'emissione di radiazioni ha come solo effetto che si consuma
energia, che qualcuno deve fornire.
Cosi' ad es. le particelle che viaggiano in un "anello di accumulazione"
non basta che vengano deviate da un campo magnetico (che non farebbe
lavoro).
Anche solo per tenerle in moto a vel. costante (senza accelerarle) si
spende un po' di energia: quella che va in radiazione emessa.

e in un post successivo:
> Elio Fabri ha risposto calcolando la velocit� dell'elettrone per
> effetto di una d.d.p. di 20 kV, ma mi ha sollevato piu' dubbi di
> quanti non ne avessi prima, sia sul calcolo (ha tenuto conto della
> variazione di massa e di carica, se siamo in odore di relativita'?),
Avrei qualche diritto di offendermi...

Comunque, sorvolo :) e cerco invece di spiegare meglio la situazione
degli "effetti relativistici", anche se temo che chi non sa abbastanza
di fisica non capira' molto, e - quel che e' peggio - potra' anche
equivocare.

Consideriamo per semplicita' il caso di due soli elettroni A e B, che
procedono affiancati (uguale velocita', traiettorie parallele).
Per calcolare la forza tra loro occorre tener conto
a) Del campo elettrico prodotto da A nella posizione di B. Questo non e'
lo stesso che se stessero fermi: e' un po' maggiore, per un fattore
gamma = 1/sqrt(1-v^2/c^2).
b) del campo magnetico prodotto da A, e della conseguente forza di
Lorentz su B. Questa e' attrattiva, per cui riduce la forza risultante.
Non sto a dare la formula, ma comunque la forza risultante e' *sempre
repulsiva*.

Si puo' anche ragionare in un altro modo: ci si mette in un sistema di
riferimento che viaggia con gli elettroni. Allora la forza e' soltanto
la solita forza coulombiana, facile da calcolare.
Poi bisogna ritornare al riferimento "del laboratorio", tenendo presente
che la forza (in relativita') *non e' invariante*. Una forza diretta'
trasv. al moto *si riduce* di un fattore gamma.

Naturalmente, visto che la fisica e' coerente (quando si ragiona bene
non ci sono paradossi!) il risultato e' lo stesso nei due modi.
Alla velocita' dell'esempio che avevo fatto, gamma vale circa 1.03, per
cui la correzione e' piccola.

Vediamo ora di calcolare che succede al fascetto di elettroni.
Assumo un fascetto di diametro iniziale d, velcocita' v, corrente I, che
percorre un tratto di lunghezza L.
Voglio sapere di quanto si allarga (diametro finale d').
Per le ragioni dette sopra, posso fare il calcolo nonrelativistico, che
e' piu' semplice. Si tratta di un problema alla portata di qualunque
studente che abbia studiato Fisica II. Riporto quindi solo il risultato
(se qualcuno vuole controllarlo, a scanso di errori...):
d' = d + (e I L^2) / (2 pi eps0 d m v^3).

Assumo d = 1 mm, I = 1 mA, L = 30 cm, v = 0.27 c e trovo d' = 2.08 mm,
cioe' il diametro raddoppia.
Probab. in un cinescopio d sara' un po' minore, ma si capisce che non e'
proibitivo focalizzare.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
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Received on Mon Nov 08 1999 - 00:00:00 CET