Re: [fisica matematica]: repulsione 1/r

From: El Filibustero <spalland_at_gmail.com>
Date: Tue, 07 Mar 2023 14:59:52 +0100

On Mon, 06 Mar 2023 22:06:50 +0100, El Filibustero wrote:

>Aggiungendo l'ipotesi che g sia di classe C^inf(]-1,1[), si puo'
>dimostrare che l'unica funzione g tale che, per ogni u in ]0,1[,
>
>integrale{dx=0..1-u} (g(u-x)-g(u+x))/x =
>
>integrale{dx=-1..2u-1} g(x)/(u-x)
>
>e g(0)=1 e' g(x):=1/sqrt(1-xx)?

Poniamo la questione in altri termini ancora. Sia

g(x) := somma{k=1..+inf} a_{2k} x^(2k) con a0=1.

(non e' restrittivo supporre g una funzione pari).

[per andare al dunque, si puo' skippare a #]

Dato che, per ogni k=0..+inf si ha

integrale{dx=0..1-u} ((u-x)^(2k)-(u+x)^(2k))/x -
integrale{dx=-1..2u-1} x^(2k)/(u-x) =

u^(2k) log((1-u)/(1+u)) + 2*somma{j=1..k} u^(2j-1) /(2k-2j+1) =
(taylorando log)

= 2*somma{j=1..+inf} u^(2j-1) /(2k-2j+1),

e quindi

integrale{dx=0..1-u} (g(u-x)-g(u+x))/x -
integrale{dx=-1..2u-1} g(x)/(u-x) =

= 2*somma{k=0..+inf} a_{2k} somma{j=1..+inf} u^(2j-1) /(2k-2j+1) =

= 2*somma{j=1..+inf} u^(2j-1) somma{k=0..+inf} a_{2k}/(2k-2j+1)

sicche' la condizione in oggetto equivale a richiedere che questo
"polinomio" in u di grado infinito sia idenicamente nullo, o sia che

[#]

per soddisfare la condizione in oggetto basta che per ogni j=0..+inf
si abbia

somma{k=0..+inf} a_{2k}/(2k-2j+1) = 0

"sistema" di infinite equazioni lineari nelle infinite incognite
a_{2k}, risolto da (ponendo a0=1)

a_{2k} := (2k-1)!!/(2k)!!

che corrisponde appunto a g(x) = 1/sqrt(1-xx). Mi domando se il fatto
di avere infinite relazioni tra gli a_{2k} sia sufficiente per provare
l'unicita' di questa soluzione, o non ci sia un metodo piu' sintetico
e rigoroso, dato che oltretutto l'unicita' e' intuitivamente ovvia,
trattandosi della densita' di carica nella configurazione di
equilibrio di particelle equispaziate in un ago, che si respingono con
legge 1/r. Ciao
Received on Tue Mar 07 2023 - 14:59:52 CET