Re: Tensori per principianti

From: Elio Fabri <mcq8827_at_mcqlink.it>
Date: 1999/10/22

lunogled_at_hotmail.com ha scritto:
> Qualche giorno fa un amico che fa ricerche in matematica pura mi ha
> chiesto di spiegargli brevemente i concetti fondamentali della
> teoria dei tensori.
>
> Vorrei sapere che ne pensate della spiegazione riportata sotto
> (buona? non chiara? Un disastro che dimostra che ne so poco anche
> io?), considerato che io i tensori li ho studiati soltanto nel
> contesto della relativita' generale.
>
> -------------- inizio spiegazione ----------
>
> I tensori sono stati "inventati" per
>
> a) Permettere una generalizzazione dei vettori e
> le matrici a piu' dimensioni
>
> b) Consentire di lavorare in un sistema di
> coordinate arbitrario (non necessariamente ortogonale),
> e/o usare una definizione arbitraria di
> "prodotto scalare" (non necessariamente simmetrica
> come x^2+y^2+z^2).

In effetti non condivido il tuo approccio.
Prima di tutto, l'origine dei tensori e' tutt'altra: sono nati ben prima
della RG, in contesti assai piu' semplici.
In secondo luogo, la possibilita' di lavorare in diversi sistemi di
coordinate ha poco a che fare col concetto di tensore, anche se
naturalmente una volta che devi usare i tensori sei quasi obbligato a
porti il problema (anche fuori della RG).
Marginalmente: la presentazione che dai di tutto l'argomento trasf. di
coordinate/componenti covarianti e controvarianti/ecc. e' canonica e
direi tradizionale; ma oggi si preferisce un approccio piu'
"intrinseco", dove le coordinate non hanno un ruolo cosi' centrale.
Vedi ad es. la trattazione della RG in "Gravitation".

Torniamo pero' ai tensori. L'atto di nascita, che spiega anche il nome,
e' quello che - guarda caso - ritrovi discusso in un altro thread:
"Chi sa sulla pressione nei..."
Si tratta della meccanica dei sistemi continui.
Nel caso generale tra le parti di un continuo agiscono forze "di
superficie", ossia applicate alla superficie di contatto fra le dette
parti.
La schematizzazione che si adotta e' differenziale: fissato
l'orientamento di un elem. di superficie (vettore unitario n) attorno a
un punto P, ad esso sara' associata una certa densita' superficiale di
forza, che chiamo F e dipende da n.
E' facile dimostrare che la dipendenza deve essere lineare (basta
applicare la prima legge cardinale della dinamica a un tetraedro
infinitesimo).
Abbiamo dunque un oggetto matematico con questa natura: vettore che
dipende linearmente da un altro vettore.
In termini piu' astratti: se V e' lo spazio (vettoriale) dei vettori
applicati in P, abbiamo introdotto le applicazioni lineari V --> V.
Una tale applic. lineare si chiama "tensore" perche' il suo primo uso e'
stato per descrivere lo stato di tensione in un sistema continuo.
In particolare, l'applic. che manda n in F si chiama "tensore degli
sforzi" in P.
Il tensore degli sforzi T e' definito in ogni punto P del continuo, e
questo porta al concetto di "campo tensoriale".

La meccanica dei continui poi procede su piu' strade. Intanto si
dimostra che il tensore degli sforzi e' sempre simmetrico:
n*T(n')=n'*T(n). Questo discende dalla seconda eq. cardinale della
dinamica.
Ne segue che l'insieme dei T e' uno spazio vettoriale a dimensione 6.
Si possono poi studiare condizioni di equilibrio, eq. di moto del fluido
(le equazioni di Eulero) ecc.
E' interessante il caso dei solidi elastici: qui accanto al tensore
degli sforzi (stress) s'introduce un altro tensore: quello delle
deformazioni S (strain) che ha una definizione un po' piu' complicata e
che vorrei tralasciare (rimando gli interessati ai testi, ad es.
Landau-Lifschitz: Teoria dell'elasticita'). Anche S e' simmetrico.
L'ipotesi di solido elastico (generalizzazione della legge di Hooke) si
traduce in una dipendenza lineare di T da S: si ottiene cosi' un altro
tensore W: T = W(S) che in ogni sistema di coordinate verra'
rappresentato da matrici a 4 indici.
Le componenti indip. di S sembrerebbero essere 6x6 = 36, ma sono invece
21, perche' anche W e' simmetrico. Questo discende dalla conservazione
dell'energia.

Ci sono almeno altre tre applicazioni importanti dei tensori nella
fisica classica.
1. Il tensore d'inerzia, definito com l'applicazione lineare da
velocita' angolare a momento angolare.
2. Il tensore dielettrico, definito come l'applicazione lineare da campo
elettrico E a induzione elettrica D.
Anche questi sono tensori simmetrici (cons. dell'energia) percio'
possono essere diagonalizzati (direzioni principali).
Nel caso di un dielettrico isotropo, D e' sempre parallelo a E, per cui
il tensore dielettrico si riduce allo scalare costante dielettrica. (Se
preferisci, il tensore diel. e' "isotropo", ossia multiplo scalare
dell'identita'; il moltiplicatore scalare e' la cost. dielettrica.)

3. Nell'elettromagnetismo maxwelliano si definisce il tensore di
Maxwell, che e' strettamente affine al tensore delgi sforzi, ma viene
espresso mediante i campi e.m.
Certamente sai che questo si estende, in relativita', al tensore
energia-impulso.

E' ovvio che potrei continuare ancora per un pezzo, ma mi fermo qui.
Mi premeva mostrare da un lato che i tensori hanno diverse applicazioni
nella fisica pre-relativistica; dall'altro che il concetto di tensore ha
un'altra origine: nasce quando occorre formalizzare una dipendenza
lineare fra vettori.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
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Received on Fri Oct 22 1999 - 00:00:00 CEST