Re: Teorema di Gauss.

From: ?manu* <paolini_at_sNOSPAMns.it>
Date: 1999/10/18

On 12 Oct 1999, Giolindo wrote:

> ?manu* <paolini_at_sNOSPAMns.it> wrote:
>
> Come si fa a definire la derivata attraverso il teo. di Gauss?
> Derivata di che cosa? Forse il vettore normale alla superficie?

In realta' si usa un caso un po' particolare del teorema di Gauss, che di
solito viene chiamato integrazione per parti.
Se D e' un dominio di R^n, f:D -> R e v e' un vettore unitario, il teorema
di Gauss ti dice che (d=derivata parziale) (div (fv) = grad f * v = df/dv)

        Int_D df(x)/dv dx = Int_dD f(s) v ds

In particolare se f e' ha supporto compatto allora

        Int df(x)/dv dx = 0

per ogni vettore unitario v.
E quindi, se f=g*h si ottiene la formula di integrazione per parti:

        Int dg/dv * h = - Int g * dh/dv.
        
Con questa formula puoi dare una definizione di derivata "debole" dg/dv di
g. Questa non e' una funzione, ma una distribuzione. Ovvero dg/dv non puo'
essere calcolata in un punto, ma puo' essere integrata contro qualunque
funzione h che sia C-infinito e a supporto compatto.

Ad esempio se g e' la funzione di Heavy-Side: g:R->R g(x)=0 se x<=0,
g(x)=1 per g>0 trovi che se h e' C-infinito a supporto compatto in R

        Int g' * h = - Int g * h' = - Int_{x>0} h' = h(0)

ovvero g' e' la delta di dirak in 0.

> >> Quacuno ha altre notizie?
>
> Ok ,questo e' chiaro, ma il mio dilemma era che nessuno mi assicura
> che con coni circolari io riesca a coprire tutta la superficie chiusa:
> coni circolari tangenti lasciano sempre interstizi tra di loro.

Non serve che usi coni circolari, puoi usare coni qualunque.
L'approssimazione e' comunque valida.

> Solo che, mentre per i coni cirolari e' stato piuttosto facile
> dimostrare che l' area tende a quel valore, usando lo stesso metodo
> per le piramidi ci si ritrova davanti a formule veramente impossibili,
> che neanche Derive riesce a maneggiare (l' ho lasciato fare per 2
> ore!). Questo perche' per il cono cirolare il piano secante ha un
> grado di liberta', mentre per la piramide ne ha 2.

Per un cono generico ti basta notare che l'area della base del cono
approssima l'area della superficie interna al cono. Non puoi fare il conto
preciso, ma devi fare qualche stima...

ciao,
        Em.
Received on Mon Oct 18 1999 - 00:00:00 CEST