Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it> wrote:
> Prendo una bottiglia ideale fatta di materiale sottilissimo senza peso.
>La
> bottiglia e' un cilidro di altezza h e raggio R con un "collo"
>costituito da
> un cilidro di altezza H >> h e raggio r << R.
>
> 2r
> | |
> | |
> | |
> | |
> | | H
> | |
> | |
> | |
> | |
>|----------- -----------|
>|-------------------------| h
> La metto su una bilancia. Che peso segnera' la bilancia?
> Si e' tentati di dire rho g H pi R^2, dato che su tutti i punti del
> fondo c'e' la pressione rho g H, che la superficie del fondo e'
> pi R^2 e che la bottiglia non ha peso.
> Dov'e' lo sbaglio e perche'? (e' abbastanza facile ;-))
Il problema � davvero carino e penso di essere giunto a una riconciliazione tra
il concetto di pressione come densit� superficiale di forza e la forza peso
esercitata sulla bilancia.
Ci ho messo 5 minuti a capire dove sta l'inghippo e non so se questo va a mio
credito o a mio discredito... :)
Aggiungiamo una superficie cilindrica *immaginaria* di altezza h che prolunga
il cilindro superiore all'interno del cilindro inferiore:
2r
| |
| |
| |
| |
| | H
| |
| |
| |
| | R-r
|-----------| |-----------|
|-----------|-|-----------| h
Ed ora facciamo i conti con la pressione usando le espressioni esatte e senza
dimenticarsi che la pressione agisce anche sul "soffitto" del cilindro
inferiore! :-)
Consideriamo il cilindro inferiore privato del cilindretto immaginario interno:
sulla base abbiamo una pressione rho g (H+h)
sul soffitto abbiamo una pressione rho g H
sulla base agisce una forza totale rho g (H+h) Pi (R^2-r^2)
sul soffitto agisce una forza totale rho g H Pi (R^2-r^2)
La prima forza, applicata al soffitto, � diretta verso l'alto mentre la
seconda, applicata alla base, � diretta verso il basso. La bottiglia
ovviamente, pur essendo senza peso, � solida (altrimenti non potrebbe resistere
alla pressione del liquido) e quindi attraverso la parete laterale del cilindro
inferiore la prima forza e la seconda si compongono e la forza risultante,
diretta verso il basso, �:
rho g (H+h) Pi (R^2-r^2) - rho g H Pi (R^2-r^2) = rho g h Pi (R^2-r^2)
il che era abbastanza anticipabile considerando il cilindro inferiore (bucato)
come sistema a s� stante.
Consideriamo il cilindro superiore prolungato immaginariamente nel cilindro
inferiore:
sulla base abbiamo una pressione rho g (H+h)
e basta!
sulla base agisce una forza totale rho g (H+h) Pi r^2
Per trovare la forza esercitata sulla bilancia (attraverso la base della
bottiglia) sommiamo la forza esercitata sulla base del cilindro inferiore
bucato con la forza esercitata sulla base del cilindro interno:
rho g h Pi (R^2-r^2) + rho g (H+h) Pi r^2 =
rho g h Pi R^2 + rho g H Pi r^2 =
rho g [h Pi R^2 + H Pi r^2] =
rho g [volume_cilindro_inferiore + volume_cilindro_superiore] =
rho g volume_bottiglia
Quindi i conti tornano perfettamente: la forza calcolata a partire dalla
pressione coincide col peso del liquido!
Meno male! ;-)
--
---------------------------------------------------------------------
Marco Coletti
Network Admin, Webmaster, Tuttologo :)
PGP public key:
http://www.trustcenter.de:11371/pks/lookup?search=0x96A79061&op=index
Fingerprint: 9F E5 80 61 F6 9F 05 2D EA 53 6F 2D 82 8B C7 C2
Certificate: http://www.trustcenter.de/cgi-bin/SearchCert.cgi
---------------------------------------------------------------------
Received on Mon Oct 11 1999 - 00:00:00 CEST