Re: Integrali di Lebesgue

From: Enrico SMARGIASSI <smartassi_at_triste.infn.it>
Date: 1999/09/29

Giovanni D. wrote:

> Cosa hanno di speciale questi fantomatici "integrali di Lebesgue"?
> Perche' sono diversi e perche' sono migliori degli integrali
> "tradizionali"?

 L'integrale di Lebesgue e' una generalizzazione del concetto di
integrale di Riemann, e permette di dare un senso all' integrale di
certe funzioni altrimenti non integrabili. Il concetto fondamentale,
detto molto alla grossa (i matematici mi perdoneranno le imprecisioni e
la mancanza di rigore) e' di raggruppare i valori di y=f(x) non secondo
la x, come fa Riemann, ma secondo la y. Cosi' per esempio la funzione di
Dirichlet definita sull' intervallo [0,1]:

* 0 per x razionale
* 1 per x irrazionale

diventa integrabile. Infatti raggruppando i punti x in cui y=f(x) vale 1
trovi tutti gli irrazionali, e raggruppando i punti x in cui y=f(x) vale
0 trovi i razionali. Siccome gli irrazionali sono infinitamente di piu'
dei razionali, questi vengono buttati via ed si ottiene il risultato: 1.

> Perche' sono cosi' importanti per i fisici?

 In realta' devo ancora trovare un fisico che ha usato l'integrale di
Lebesgue per un calcolo "vero", nel senso che quando nella pratica ci si
trova a dover calcolare un integrale si puo' sempre usare Riemann (e se
non si puo', non si usa nemmeno Lebesgue). L'integrale di Lebesgue si
usa solo per dimostrare teoremi: in particolare l'importantissimo
teorema che gli spazi L2 sono completi, senza di cui il formalismo della
Meccanica Quantistica
non funziona. Anzi, direi che per il 99% dei fisici questo teorema e' l'
unico punto in cui s'incontra l' i. di L..

 Devo dire che trovo questo stato di cose abbastanza insoddisfacente.
Data la compressione dei programmi universitari, passare un mese o due
per dimostrare un solo teorema mi sembra uno spreco. Tanto piu' che il
problema si puo' aggirare: esiste una formulazione della MQ, non molto
diversa dalla solita, in cui l'i.di L. non si vede mai (in compenso si
deve introdurre la teoria delle distribuzioni, ma questa andrebbe
studiata comunque). Vedi Richtmyer, "Principles of Advanced Mathematical
Physics", edito Springer.

 Queste almeno sono le mie impressioni. Ogni commento e' gradito...

-- 
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Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it:6163/~esmargia
Received on Wed Sep 29 1999 - 00:00:00 CEST

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