Re: Gruppo di Galilei

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/10/04

Wentu wrote:
>

Mamma mia, ma dove e' che studi questa roba? A Istituzioni di Fisica
Teorica?
Ma chi e' che vi insegna queste cose? Qui stiamo entrando nella teoria
della coomologia delle rappresentazioni proiettive di gruppi di Lie.
E poi perche' fare queste cose? Tanto il vero gruppo d'invarianza e'
quello di Poincare' dove le rappresentazioni sono davvero unitarie (non
c'e'
la fase dipendente dalla massa di cui sotto). Mi sembra puro sadismo
se e' per un esame di Istituzioni di Fisica Teorica.
Vabbe' scusa lo sfogo, vediamo un po' quali sono i problemi...

> Si parla della rappresentazione del gruppo di Galilei con gli
> operatori di rototraslazione, traslazione temporale e boost
> galileiani. Se g � un elemento del gruppo di Galilei determinato dalla
> rotazione R, traslazione spaziale a, velocit� v e traslazione
> temporale � ( non uso la lettera tau o non leggete nulla... ) sono
> arrivato a capire che U(g1)U(g2) composti non danno U(g1,g2) ma c'� in
> mezzo il solito fattore di fase w(g1,g2) che nel caso del gruppo di
> Galilei pare ineliminabile perch� viene a dipendere dalla M del
> sistema. Sin qui ci sono ( anche se magari l'ho scritto in modo
> brutale ).

OK!

> Ora il libro dice che la struttura proiettiva sarebbe
> eliminabile se M = 0 ma ci� non � possibile.

E' vero, infatti la massa compare a fattore della fase (scusa quel'e'
"il libro, tanto per saperlo?).


> E a me quest starebbe
> benissimo e sarei contento. Ma aggiunge : per conincersene basta
> esaminare le relazioni di commutazione fra i vari genratori delle
> traslazioni. wow !! Se prima ero convinto ora sono nel buio. Elenca
> queste nove relazioni : ( G = tP - MX � il generatore dei boost
> galileiani )
> a) [Pa,Pb] = 0
> b) [Ga,Gb] = 0
> c) [Pa,Gb] = i M delta ( a,b )
> d)[H,Pa]= 0
> e) [H, Ja ] = 0
> f ) [ Ja , Pb ] = i Ricci ( a,b,c) Pc
> g ) [ Ja , Gb ] = i Ricci ( a,b,c) Gc
> h) [ Ja , Jb ] = i Ricci ( a,b,c) Jc
> i) [ H, Ga ] = i Pa
>
> dove Ricci () sta per il solito simbolo epsilon ... insomma avete
> capito...
>
> Prima frase sibillina : L'unica relazione di commutazione con
> estensione centrale � la relazione c) tra i generatori dei boost e
> delle traslazioni spaziali, i quali commutano al livello dell'algebra
> di Lie astratta.
> wow !!
> Intanto dico che l'idea che ho dei gruppi e dell'algebra di Lie �
> piuttosto vaga.
> Pensando di volerlo spiegare in soldoni direi cos� :
> Un gruppo � di Lie quando � continuo ed esaminando gli elementi
> vicino all'elemento unit� ( o identit� ) troviamo che questi fatti :
> si prendono in considerazione le funzioni analitiche e si sottopongono
> a una trasformazione infinitesimale.ne descriviamo il cambiamento con
> degli operatori Xk che costituiscono l'algebra di Lie. SE questi
> operatori formano uno spazio linere, per ogni loro copia � definito il
> loro commutatore ed appartiene all'algebra ed � soddisfatta l'identit�
> di jacobi, ALLORA il gruppo � di Lie.
>
> Ci si accorge che non ho mai fatto teoria dei gruppi lo so... e non
> sono tenuto a saperla a questo livello ... ma parlare solo di gruppi
> di Lie senza sapere cosa sono non mi pare giusto. Vorrei capirli
> appena. Mi aiutate ? ....
> Ma non ho finito ! Ricordate la frase sibillina ? Ebbene P e G hanno
> come commutatore qualcosa diverso da zero ma mi si viene a dire che
> essi commutano a livello dell'algebra di Lie.... non capisco...
> Lasciamo perdere il discorso in mezzo a questa pagina infernale che
> davvero mi ci vorrebbero 20 NG per spiegarmelo... ma dopo conti
> asdrusi si asserisce : abbiamo verificato che ogni rappresentazione
> del gruppo di Galilei � riconducibile ad una forma i cui generatori
> soddisfano alle relazioni a-i ) che vi ho riportato sopra.
> Accetto la dimostrazione per fatta e spero non me la chiedano ma ...
> avreste delle specie di illuminazioni da darmi per farmi capire
> l'importanza dell'avere elencato queste relazioni ? Io speravo di
> poter saltare questa parte e preoccuparmi della regola si
> Superselezione di bargmann enunciata dopo che mi pare di avere capito
> nella sua essenza. Ma appunto desidererei essere illuminato su questo
> fatto di " M come costante caratteristica dell'estensione centrale " .
> Credo non mi sia chiaro il termine "estensione centrale" ...
>
> Grazie di cuore... ogni punto sopra il 20 ve lo dedichero' ...
>
> Wen(t) U


Sono arrivato in fondo. Quello che chiedi e' un corso di teoria dei
gruppi di
Lie e coomologia dei gruppi di Lie! E' impossibile fare tutto cio' qui.
Posso solo dirti poche cose, spero di aiutarti.

1) I gruppi di trasformazioni della fisica sono quasi tutti gruppi di
Lie.
I gruppi di Lie sono gruppi con struttura di varieta' differenziabile
compatibile
con la struttura di gruppo (cioe' di fatto, gli elementi del gruppo sono
definiti assegnandone coordinate con continuita' e le operazioni di
gruppo sono funzioni
differenziabili tra queste coordinate). I gruppi di Lie hanno una
sottostruttura detta
*algebra di Lie* che vive nello spazio tangente all'elemento unita'
Lo spazio tangente e' quello che ti immagini: e' fatto dai vettori
tangenti
alla varieta' gruppo di lie spiccati dall'elemento unita' del gruppo.
Questa struttura (algebra di Lie) e' uno spazio vettoriale dotato di un
*prodotto
esterno* che manda coppie di vettori in vettori. Il prodotto e'
bilineare,
antisimmetrico e soddisfa l'identita' di Jacobi. E' possibile provare
che

*due gruppi di Lie con la stessa algebra di Lie (nel senso di algebre
di Lie *isomorfe*) sono isomorfi nell'intorno dell' unita'*

* e sono isomorfi globalmente se si tratta di gruppi semplicemente
connessi.*


(L'algebra di Lie determina quello che si chiama rivestimento universale
del gruppo,
per esempio quello di SO(3) e' SU(2)...)

In soldono dall'algebra di Lie riesci a ricostruire il gruppo almeno in
parte intorno
all'elemento neutro o unita'.




2) Facendo della meccanica quantistica ci si aspetta che i gruppi di
trasformazione
che agiscono nello spazio "fisico" siano *rappresentati* da operatori
unitari (o antiunitari).

Rappresentare un gruppo g in termini di funzioni F da S in S,
significa dare
una funzione (detta rappresentazione) R: g -> Fg in modo tale che sia
conservata la struttura
di gruppo: ossia, se e e' l'identita' di G,

e -> identita' S

g � h -> Fg � Fh

Questo in realta' e' impossibile in generale (non e' possibile
rappresentare G in termini di operatori unitari agenti sullo spazio dei
vettori di stato in generale), perche' gli stati non sono in realta'
vettori in uno spazio di Hilbert H, ma *classi di equivalenza vettori*
di uno spazio di Hilbert H che differiscono per un fattore non nullo:
il vero spazio degli stati e' quello che si ottiene quozientando lo
spazio di Hilbert rispetto alla relazione di equivalenza che identifica
vettori proporzionali (con fattore di proporz. non nullo).Quello che
viene fuori e' detto *spazio proiettivo* e si vede che e' anche dotato
di una *distanza* che misura la probabilita' di transizione tra due
stati.

Quindi ci si aspetta che

*le rappresentazioni di un gruppo di operazioni G dello spazio fisico
siano in realta' date in termini
di operatori che conservano la struttura di spazio proiettivo e che
conservino la distanza in esso*

C'e' un teorema dovuto a Wigner che prova che i *singoli elementi*
del gruppo G sono rappresentabili in termini di operatori unitari (o
antiunitari) sullo
spoazio di Hilbert H.

Allora si potrebbe pensare di lavorare in H anche per quanto riguarda la
teoria dei gruppi di
trasformazioni, invece di passare allo scomodo spazio proiettivo, come
detto sopra questo in generale e' falso e ti dico tra poco il perche'.

Prima devo dire che,
in ogni caso SE una rappresentazione davvero unitaria del gruppo G e'
possibile su H, l'algebra di
Lie di G deve essere isomorfa all'algebra di Lie ottenuta dai generatori
del gruppo unitario
associato e usando come prodotto esterno il commutatore. Per esempio nel
caso del gruppo
SO(3), l'algebra di Lie associata e' isomorfa a quella ottenuta dai tre
operatori di momento
angolare rispetto al commutatore. (In realta' ci sono problemi di domini
su cui non mi
soffermo).

Torniamo alla questione generale.
Se g e g' sono elementi del gruppo di trasformazioni G che ti interessa
rappresentare
quantisticamente, e Ug e Ug' sono gli operatori unitari (sono sempre
unitari se il gruppo e' di Lie
connesso) che rappresentano g e g' su H che esistono per il teorema di
Wigner, puo' accadere che quando
g � g' = g'' si ha, invece di Ug Ug' = Ugg' come dovrebbe essere in una
vera rappresentazione gruppale,

Ug Ug' = exp{if(g,g')} Ug
Ug'
(1)

la differenza da una vera rappresentazione unitaria e' nella fase
exp{if(g,g')}. Nota che
questa *scompare* quozientando rispetto alla relazione di equivalenza
di cui sopra, in maniera
tale che nello spazio proiettivo si abbia davvero una rappresentazione
gruppale. Le fasi f sono funzioni
note da G X G in G ( si studiano introducendo il concetto di coomologia
dei gruppi di Lie).

Se non appaiono fasi del tipo detto (e questo succede per il gruppo di
Poincare') il gruppo di
trasformazioni e' davvero rappresentabile tramite un gruppo di operatori
unitari. Altrimenti bisogna
tenersi le fasi.

3) Si puo' vedere che in realta' anche nel caso disperato che compaiano
fasi
e' possibile ancora lavorare nello spazio H con vere rappresentazioni di
gruppi date in termini di operatori unitari. Il trucco e' di NON cercare
di rappresentare il gruppo G, ma di rappresentare un gruppo piu'
complicato che viene detto una "estensione centrale" (tramite U(1)). Si
tratta di un gruppo costruito sul prodotto cartesiano U(1) X G ( nota
che U(1) e' il gruppo delle fasi!). Gli elementi sono coppie (exp{ia},
g), gli elementi del tipo (exp{ia}, e) dove e e' l'elmento neutro di G
commutano con tutti gli altri (e per questo appartengono al "centro del
gruppo" U(1)X G) e il prodotto del gruppo U(1) X G e' costruito proprio
in maniera tale che valga

U[(1,g) � (1,g')] = U (exp{if(g,g')}, g � g') = exp{if(g,g')} U(1,g)
U(1,g') (2)

La proprieta' di appartenere al "centro" di cui sopra, serve a tirare
fuori l'ultima fase (non entro
in dettagli).

Come vedi, se pensiamo (1,g) come g, la (2) altro non e' che la (1)!
Quindi con il trucchetto di
"estendere centralmente" G "secondo U(1)" abbiamo fatto diventare la
rappresentazione NON unitaria
di G di cui in (1), una rappresentazione UNITARIA di un gruppo suo
parente definito su G X U(1)
e possiamo continuare a lavorare in H invece che nello spazio quoziente.

Ovviamente G X U(1) NON avra' piu' la stessa algebra di Lie di G e
questo verra' subito fuori quando andiamo a considerare i commutatori
tra i generatori quantistici della rappresentazione unitaria.
Nel caso in esame, la vera algebra di Lie del gruppo di Galilei avrebbe
0 a secondo membro in (c)
nelle tue formule. Proprio per questo motivo la (c) ci dice che in
realta' la rappresentazione
che si ottiene prendendo i prodotti degli esponenziali dei generatori
quentistici che compaiono nelle
tue relazioni di commutazione NON e' una rappresentazione unitaria del
gruppo di Galilei, ma e' una
rappresentazione unitaria di una sua estensione centrale dipendente
dalla massa della prticella!

Spero di esserti stato di aiuto, ciao, Valter
Received on Mon Oct 04 1999 - 00:00:00 CEST