Re: Inversione temporale

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/09/25

Wentu wrote:
>
> Forse non � onesto cercare di capire questa cosa chidendo aiuto ma..
> non ce la faccio piu' !!!
> Si tratta degli operatori di inversione temporale... devo controllare
> la covarianza dell' Equazione di Schroedinger sotto inversione
> temporale....



Ciao, vediamo un po' di chiarire come stanno le cose.
Pero' devo partire dall'inizio, quindi fai "tabula rasa"
di tutto quello che sai e riparti da capo.
In particolare non usero' T nella parte quantistica, la
notazione e' gia' incasinata a sufficienza senza e non
capisco perche' complicarla ancora!



In soldoni l'invarianza per inversione temporale di un sistrma fisico
significa che se riprendi una qualsiasi evoluzione del sitema con una
cinepresa e poi fai andare il film al contrario, anche questo nuovo
film sembra descrivere un *possibile* moto del sitema (con altre
condizioni iniziali! l'inversione del tempo CAMBIA le condizioni
iniziali).

Vediamo come tradurre questo in formule.

In meccanica classica hamiltoniana, gli stati sono individuati
da coppie (q,p). Mettiamoci nel caso di coordiante naturali
in cui p e' davvero un impulso. Uno stato (q,p) sottoposto
ad inversione temporale diventa T(q,p) = (q,-p), questo perche'
invertendo il tempo *anche le velocita' cambiano segno*.
Questo e' il punto centrale che dovrebbe risolvere molti
tuoi problemi.

La trasformazione di sopra puo' anche vedersi come un cambiamento
di sistema coordiante (trasf. passiva)

(q',p') = T(q,p) = (q,-p) (1)

E' immediato verificare che tale trasformazione conserva le
parentesi di Poisson elementari

{q',p'}_{qp} = 1

{q',q'} = 0 (2)

{p, p'} = 0


In poche parole la trasformazione inversione del tempo e' CANONICA.

Per ora non abbiamo ancora parlato di *invarianza* per inversione
temporale. Per parlarne abbiamo bisogno di introdurre la dinamica.

Consideriamo non un singolo stato (q,p), ma una traiettoria che
sia *soluzione* delle equazioni di hamilton, cioe' una funzione che
manda l'istante di tempo t nello stato (q,p)(t)

g(t) = (q,p)(t)

che risolva le equazioni di Hamilton.
A questa traiettoria possiamo associare la sua inversa temporale

g'(t) = T[(q,p)(-t)] = (q(-t),-p(-t))

Questa NON sara' in generale una soluzione delle equazioni di H!

Il sistema hamiltoniano e' detto INVARIANTE sotto l'azione
dell'inversione
temporale se, ogni qual volta g e' una soluzione delle equazioni
di Hamilton, anche g' e' una soluzione delle equazioni di Hamilton.

Invece di riformulare l'invarianza detta in termini di hamiltoniana
passiamo subito alla generalizzazione quantistica.

Ora gli stati sono (a meno di fasi) vettori normalizzati dello spazio
di Hilbert IH. Ci sara' un operatore U :IH -> IH, che descrive
l'inversione
temporale, analogo al T di sopra. Almeno quando il sitema e'
invariante sotto l'inversione temporale, ci si aspetta che U conservi
le probabilita' di transisione, cosi', nella ambigua notazione di Dirac
abbiamo

 | < U f | U f'> | = | < f | f'> | per ogni coppia di vettori |f>,|f'>.

Allora il teorema di Wigner implica subito che U e' unitario oppure
antiunitario.

D'altra parte l'interpretazione passiva (1) dell'inversione temporale
deve essere ora pensata come

U X U^{-1} = X U P U^{-1} = -P (3)

Infine, la conservazione delle parentesi di Poisson quantistiche
cioe' i[ , ] (dove [ , ] e' il commutatore) che segue dal principio
di corrispondenza di Dirac e' ora:

U i[X,P] U^{-1} = i[X,P]

tenedo conto di (3), cio' e' possibile SOLO se U e' *antiunitario*.

Ora passiamo a formalizzare l'invarianza per inversione temporale

Esattamente come nel caso classico, se

G(t) = |f(t)>

e' una soluzione dell'equazione di Schroedinger
deve essere vero che


G'(t) = U|f(-t)> = |f'(t)>

e' ancora soluzione dell'equazione di Schroedinger

Qundi deve essere che

i d/dt |f(t)> = H(t) |f(t)> (4)

implichi

i d/dt |f'(t)> = H(t) |f'(t)> (5)

Vediamo cosa significa riguardo ad H questa condizione.
Applicando U alla (4) si ha

-i d/dt U|f(t)> = UH(t)U^{-1} U|f(t)>

ora ridefiniamo t come -t ottenendo

 i d/dt |f'(t)> = U H(-t) U^{-1} |f'(t)>

questa e' la (5) se (e solo se) vale
la condizione


U H(-t) U^{-t} = H(t)


equivalente a


U H(t) U^{-1} = H(-t) (6)


Riassumendo, una volta definito un sistema
quantistico invariante sotto l'inversione temporale come
un sistema quant. dove (4) => (5), una condizione necessaria
e sufficiente per l'invarianza sotto linversione
temporale e' che valga la (6).

Tutto chiaro ora?

Ciao, Valter Moretti
Received on Sat Sep 25 1999 - 00:00:00 CEST