Re: Orbite dei pianeti con le equazioni differenziali

From: Enrico SMARGIASSI <smartassi_at_triste.infn.it>
Date: 1999/09/09

Dangermouse wrote:

> >d) Per la ragione detta sopra, anche il modulo di L si conserva. Percio'
> >(1) r^2 * d phi/ dt = A = costante (e' la seconda legge di Kepler).
> >Questa e' la prima equazione, e A e' la prima cost. d'integrazione.
>
> La legge dell'area! pero' non la capisco tanto bene... io avrei detto che se
> l'area
> resta costante (ad esempio in un cerchio) allora r * deltaphi / deltat =
> costante se deltaphi
> e' espresso in radianti...
> perche r^2?

 Be', deve avere le dimensioni di un' area, no? Ricordati sempre di
controllare le dimensioni fisiche, non sai quanti errori ti risparmi! In
dettaglio: immagina di avere un triangolino infinitesimo con un vertice
nel centro della forza e la base coincidente con un pezzo di
traiettoria. Approssimando questo pezzo con un arco di cerchio si vede
che la sua lunghezza e' r*deltaphi. Naturalmente la "base" non e'
esattamente un arco di cerchio, pero' siccome e' sotteso da un angolo
infinitesimo - deltaphi - questa approssimazione vale a meno di
infinitesimi di ordine superiore; lo stesso vale se lo approssimiamo con
un segmento. Qual e' l'area del triangolino? (base)*(altezza)/2 = (r
*deltaphi)*r/2 = r^2 *deltaphi/2. Siccome il due e' costante, lo
assorbiamo nella costante A ed ecco la 2a legge di Kepler.

>
> >e) La seconda eq. la trovi, per esempio, scrivendo l'energia totale E =
> >T + V in coord. polari. Nota che T contiene un termine che dipende da d
> >phi/dt: e' questo che rende scorretta la tua equazione piu' sopra (il
> >termine addizionale e' chiamato "potenziale centrifugo"). Eliminalo in
> >favore di A/r^2 usando la (1). L'energia E e' la seconda cost. di
> >integrazione.
>
> dunque nel libro c'e' questa formula
> E = 1/2 m (dr / dt) ^ 2 + L^2/(2mr^2) + Ep(r)
> credo che qui abbiano gia' fatto la sostituzione di sopra.

 Si', e' cosi'.

-- 
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Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it:6163/~esmargia
Received on Thu Sep 09 1999 - 00:00:00 CEST

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