Feynman ed integrali convergenti (sul serio?)

From: Massimo <inerzia_at_libero.it>
Date: 1999/09/09

Salve a tutti!
Un mio amico durante le ferie estive ha deciso di rivangare
un po' di studi passati (sigh, da troppo!), per cui ha
riaperto il libro del Feynman "Quantum Mechanics and
Path Integrals". Ad un certo punto (per chi ha il libro,
e' il capitolo 4), nel procedimento per ottenere l'equazione
di Schroedinger, viene affermata la convergenza del seguente
rapporto di integrali: (uso "!" come segno di integrazione)

numeratore
            ! x^2 exp( imx^2 / 2ht ) dx

denominatore
            ! exp( imx^2 / 2ht ) dx

dove entrambi gli integrali sono tra -infinito e +infinito,
h sarebbe "h tagliato" ed i e' l'unita' immaginaria.
Dopo qualche ricerca, il denominatore effettivamente converge
(mi pare che si chiami integrale di Fresnel o qualcosa del
genere); il numeratore invece lo ha lasciato perplesso (ed
anch'io). Si e' allora fatto un programmino semplice per
verificare l'andamento, ponendo gli estremi di integrazione
man mano sempre piu' grandi: il fatto e' che sembra non
convergere! La funzione da integrare e' certo qualcosa che
oscilla, ma con ampiezza che aumenta ad ogni oscillazione!
Il fatto che una funz. rapidamente oscillante possa essere
mediata all'infinito non dovrebbe essere applicabile qui,
perche' ogni volta l'ampiezza aumenta; o no?

Nel seguito, Feynman fa tendere il "parametro" t a zero:
tuttavia non capiamo come questo possa influire sulla
convergenza.

Dato che ci pare strano che nessuno abbia notato una cosa
del genere, ci piacerebbe conoscere la soluzione; a quanto
ho capito, il passaggio e' abbastanza importante per il
risultato finale!

Grazie a tutti quelli che vorranno rispondere!

PS: il mio amico non ha accesso ad internet, per cui faro'
soprattutto da passaparola, dato che ho soltanto sempre
letto di Feynman solo quanto mi poteva servire per qualche
esame (a quel tempo mi piaceva il Landau...)


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Massimo Moiso
inerzia_at_libero.it
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Received on Thu Sep 09 1999 - 00:00:00 CEST